拼接巧處理，找外接球的球心

高映俊

【摘要】立體幾何中求有關(guān)多面體的外接球的問題越來越受關(guān)注，難度也較大，學(xué)生不容易建立空間的線面關(guān)系，所以我想幫助學(xué)生準(zhǔn)確找到他們之間的關(guān)系，仔細(xì)研究了如下幾題，發(fā)現(xiàn)我們可以采用拼接的方法，使得問題簡(jiǎn)單化.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；拼接；方法

1.已知正方體的邊長(zhǎng)為a，求外接球的半徑.

講解：外接球就是指正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即球心到8個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在什么位置？

學(xué)生思考后回答：在正方體體的中心，師問：是不是體對(duì)角線的中心？

在黑板上畫圖幫助學(xué)生理解，找到正方體棱長(zhǎng)和球半徑的關(guān)系即直徑等于體對(duì)角線長(zhǎng)，也就是3a=2R，得到R=32a.再應(yīng)用幾何畫板給予充分的演示，使學(xué)生充分理解這一問題.

2.已知長(zhǎng)方體的三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，求外接球的半徑.

學(xué)生思考后容易得出，長(zhǎng)方體的外接球球心也在體對(duì)角線的中點(diǎn)處，找到棱長(zhǎng)與直徑的關(guān)系即直徑等于體對(duì)角線長(zhǎng)，也就是a2+b2+c2=2R，得到R=a2+b2+c22.

總結(jié)：找一個(gè)多面體的外接球主要是確定球心的位置即空間一個(gè)點(diǎn)到多面體各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)點(diǎn)就是球心，球半徑為球心到任何一個(gè)頂點(diǎn)的距離.

3.已知一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為3，4，5，求它的外接球的表面積.

分析：要求外接球的表面積得先求外接球的半徑，具體而言就是找球心的位置.

對(duì)于這樣一個(gè)三棱錐學(xué)生沒法找，我們就原把它拼接成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球和這個(gè)三棱錐的外接球是同一個(gè)球，這樣問題就迎刃而解了.

4.一個(gè)各棱長(zhǎng)都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，求該球的表面積.

分析：對(duì)于這樣一個(gè)正四面體學(xué)生想不來，更別說是找外接球的球心了，我們利用模型讓學(xué)生理解這樣的正四面體是從正方體中切出來的，這樣的話這個(gè)正四面體的外接球其實(shí)就是正方體的外接球，容易解決問題.課堂上為了讓學(xué)生能準(zhǔn)確理解這一問題，我自己做了一個(gè)實(shí)體模型，讓學(xué)生看著我來切去四個(gè)三棱錐，變成一個(gè)正四面體，直接觀察到正四面體的棱長(zhǎng)為正方體的面對(duì)角線的長(zhǎng).再在黑板上畫出直觀圖，再次讓學(xué)生證實(shí)這一點(diǎn).假設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的邊長(zhǎng)為22a，得到正方體的體對(duì)角線即外接球的直徑長(zhǎng)為62a.

5.三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面積.

分析：畫出幾何體的直觀圖，也可以在拼接一個(gè)等大的三棱柱，變成一個(gè)四棱柱.再次明確我們要找的是外接球的球心即在空間找一個(gè)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)，我們這樣找，先找到上底面的3個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，分析上底面，經(jīng)過拼接后底面變成一個(gè)角為60°的菱形，是兩個(gè)等邊三角形拼接而來的，容易知道DA=DB=DC，在棱DD1上任取一點(diǎn)E，由圖明顯可得，△ADE≌△BDE≌△CDE，所以到頂點(diǎn)A，B，C距離相等的點(diǎn)在棱DD1上，同理可得到頂點(diǎn)A1，B1，C1距離相等的點(diǎn)也在棱DD1上，故球心是棱DD1的中點(diǎn)，半徑為DB=5.

多面體的外接球是個(gè)立體幾何中的難點(diǎn)問題，通過拼接成熟悉的正方體和長(zhǎng)方體能簡(jiǎn)化問題，使得學(xué)生能快速準(zhǔn)確的解答某些問題，但是對(duì)于角復(fù)雜的一些題目還是要更根據(jù)立體幾何中的定理進(jìn)行推理論證.