解題，從審題開始

王彤

進入高一，絕大部分學生在數學學習上面臨著一系列巨大挑戰：學習容量明顯加大了，知識的系統性更強了，加上內容的抽象性、思維的嚴密性與邏輯性明顯加強，很多學生在數學學習上會感到很吃力，主要表現在數學解題上：上課聽講時都能理解，但到自己去解題時，各種問題卻接踵而來.其主要原因在于自己沒有形成一定的解題思路，還沒弄清楚題目需要你做什么，或者根據題目條件你能做什么.要想弄清楚該干什么，就要從審題開始.新課標明確指出：高中數學課程對于提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發展智力和創新思維起著基礎性作用.分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料，能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題.

例1若不等式x2-ax-b<0的解集為x20的解集.

此題看起來比較簡單，絕大部分學生也都能算出正確答案，但從解題過程的嚴密性而言，我覺得是不大滿意的.在講一元二次不等式的解法時，我們通常是把三個二次放在一起，目的是讓學生明確二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者的關系，也就是在處理一元二次不等式的問題時，腦中能形成這樣三角網絡，把不等式的問題轉化為方程問題.所以，我們強調在解題時要有這么一句話：因為不等式x2-ax-b<0的解集為x20的解集是{x|x<1或x>3}，求不等式cx2+bx+a>0的解集，我們會發現除了類似于例1的兩個方程以外，還能發現“a<0”這個結論.這個結論在后面的解題中起到了決定性作用，如果我們審題不嚴密，沒有細細分析題目條件所帶來的信息，那我們往往就會走在錯誤的邊緣而不知.

數學學科本身具有精確性、嚴密性及完美性三大特點，而思維的嚴謹性是極其重要的一方面.反映在數學解題過程中，就是要做到思考問題全面、周密而不遺漏任何可能的情況，在推理論證時做到理由充分，條理清楚.

例2已知函數f（x）=-2x2+4x-1，若0

此題是研究二次函數在不定區間上的值域問題，通過審題，我們不難發現，結合二次函數圖像，由于區間的不定，我們無法確定最大和最小值的位置，無法確定就帶來了分類討論.分類討論是數學嚴密性的一種明顯表現，很多學生缺乏嚴密的邏輯推理，會丟三落四，但要想得高分，就要面面俱到.不過，知道分類討論只是完成了解題的第一步，后面還有一塊重要而艱巨的任務：解題.因為當0

有時候，數學解題不是純粹為了解這道題而解題，我們要從一道題的思考、解答中去發現這一類問題的解決通法.我也經常和學生講：要少算就要多想.這兩年高考也是呈現了這樣的特點，計算的量少了，要求學生思考的東西多了.審題，一方面是多思考題目條件可以帶來哪些結論，另一方面我們還要多關注題目條件中所隱含的一些信息，抓住這些信息，我們往往會有一種“柳暗花明又一村”的感覺.

例3幾名大學畢業生合作開設3D打印店，生產并銷售某種3D產品.已知該店每月生產的產品當月都能銷售完，每件產品的生產成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產品的生產成本，第二部分是其他固定支出20000元.假設該產品的月銷售量t（x）（件）與銷售價格x（元/件）（x∈N*）之間滿足如下關系：①當34≤x≤60時，t（x）=-a（x+5）2+10050；②當60≤x≤70時，t（x）=-100x+7600.設該店月利潤為M（元），月利潤=月銷售總額-月總成本.

（1）求M關于銷售價格x的函數關系式；

（2）求該打印店月利潤M的最大值及此時產品的銷售價格.

看起來是一道比較簡單的利潤應用題，學生們都能建模，但因為第一問式子的求解直接影響第二問的求解，很多同學第一問都沒能做出來，所以此題的平均得分很低.問題在哪兒？條件中有一個字母a，按以前做題的常理，我們通常要把a求出來的，但我們也發現好像無從求a，于是就會帶著a一直往下做，明知道有問題，但也無力改變.那么問題究竟在哪兒呢？如果仔細觀察，我們會發現34≤x≤60和60≤x≤70這兩個式子，這和我們平常寫的有什么區別嗎？就是60的位置，兩段上都帶了等號.這說明什么問題？于是隱含條件又被挖出：第一段的t（60）和第二段的t（60）應該相等，這樣a就算出來了，所有問題也就迎刃而解.

基本的審題沒有問題時，我們是否關注了隱含條件？如例3，有同學在平常的書寫分段函數時就不注意分斷點的等號問題，所以遇到這個問題時自然就不會注意；有同學盡管知道，但僅僅流于表面形式，并沒有真正理解，所以也不會太在意.只有真正理解了式子的概念意義，如本題，其實是對函數概念的認識.所以，對于嚴密性而言，它是數學的顯著特征，在數學概念的學習時特別重要，概念題往往是考那些學生容易忽視的詞語，恰好那是關鍵，要知道數學概念的嚴密性是很強的，多一個字和少一個字都會對概念描述不準.比如橢圓的定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1，F2之間的距離）的點的軌跡叫橢圓.如果去掉平面內這個限制，將得到幾何體，對常數也必須限制它大于F1，F2本身的距離，否則也不是橢圓，把和改為差又會得到雙曲線的一支.

例4已知函數f（x）=alnx，若對任意的x∈1，e，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍.

這是我們在高三復習時經常遇到的一類題：不等式恒成立問題，基本方法就是構造函數求最值，分類變量求最值或者是數形結合.采用直接構造函數，即令g（x）=x2-（a+2）x+alnx，再求g（x）在1，e上的最小值.通過求導，由g′（x）=0x=1或x=a2，發現需要對a2分三種情況討論.采用分離變量法，我們可以先得到a（x-lnx）≤x2-2x，但在兩邊除x-lnx時要說明x-lnx>0，在得到a≤x2-2xx-lnx后，我們令h（x）=x2-2xx-lnx，求導h′（x）=（2x-2）（x-lnx）-（x2-2x）1-1x（x-lnx）2，此時我們發現求導后的式子也不簡單，雖然可以通過提取公因式或者直接研究分子（二次求導）去研究正負，但過程確實很繁瑣.所以此題看起來很常規，但綜合能力要求卻比較高，不管采用哪種方法，都需要學生有很強的毅力堅持計算下去.不過我們再去發現一下，恒成立問題通常是“對任意的x，……恒成立”，結合我們在解決如“已知f（x）=2x+a2x+1為奇函數，求常數a”的題目時的做法，我們不難發現帶特殊值是一個好辦法.所以，當我們把1帶入后就有了a≤-1的結論，從而在第一種做法的基礎上，我們整個過程就簡化了，三種情況討論就只剩下了一種，大有“四兩撥千斤”的快感.

諸如此類題不少見，如在向量中我們有這么一道：兩個半徑分別為r1，r2的圓M、N，其公共弦AB長為3，如圖所示，則AM·AB+AN·AB=.

此題主要運用AB⊥MN的性質實現向量的運算：

可以直接用向量數量積的定義式進行化簡，也可以把AM，AN進行轉化求解，當然在有垂直條件下，建立直角坐標系用坐標求解也是可行的.不過，我們再去細細體會一下題目信息：半徑是r1，r2（帶字母），而結果應該是定值，那么換句話說這個結果應該和半徑沒關系，既然沒關系，那我們就可以給定r1，r2的值，那樣運算起來就沒那么麻煩了（當然，要適當注意合理性，畢竟公共弦長是3）.

審題能力是綜合獲取信息、處理信息的一種能力，它需要以一定的知識儲備、認知水平為依托，更需要有良好的讀題習慣、有效的思考方法為保證.在高中階段，對學生進行嚴密的邏輯思維訓練是必不可少的，因為它不僅是創造性數學思維中不可缺少的工具，也是學生今后走入社會從事研究或工作必須具備的良好品質.