根式及其教學研究（提高篇）

宋揚

【摘要】開方是數學的一種基本運算.本文闡明了2n次方根、2n+1次方根以及算術根的本質和運算性質，介紹了根式運算的要點和化簡的方法.

【關鍵詞】2n次方根;2n+1次方根;最簡根式;共軛根式;分數指數冪

作為乘方的逆運算，開方是數學的一種基本運算.根式既可表示開方運算的過程，也能表示開方運算的結果，其應用領域十分廣泛.從最簡單的實際問題“已知直角三角形的兩邊，求第三邊”，到二次方程的求根公式，高次方程、無理方程的求解等等，都要用到根式.

本文將二次方根、三次方根和算術根的概念平行推廣到2n次、2n+1次方根和算術根，并加以統一定義，闡明了算術根的本質和運算性質，介紹了根式運算的要點和一些方法.

全文都是在實數域上討論的.

一、正確理解方根和算術根的概念

1.方根和算術根的定義及其性質

定義1 若x2n=a（a≥0，n∈N），則稱x為a的2n次方根，有時候稱為偶次方根.

注：定義1中的a≥0不是外加的限制條件，而是式子本身固有的約束條件.因為對于任意實數x，恒有x2n≥0，所以a不可能為負數.

偶次方根的三條性質：

（1）若a>0，則a的2n次方根有兩個，即為2na與-2na，二者互為相反數;

（2）若a=0，則a的2n次方根為0，即為2n0=0;

（3）若a<0，則a沒有偶次方根，或者說2na沒有意義.

定義2 非負實數a的非負的2n次方根，稱為a的2n次算術根，或稱為偶次算術根.

定義2° 當a>0時，a的2n次算術根為2na;當a=0時，a的2n次算術根為2n0=0.

注：以上定義2和定義2′是等價的.

由上可知，算術根的概念是建立在方根的概念基礎上的.當a≥0時，a的2n次算術根存在而且唯一，即為2na;當a<0時，a沒有偶次方根，當然也就沒有偶次算術根.

定義3 若x2n+1=a（n∈N），則稱x為a的2n+1次方根，記為2n+1a，或稱為奇次方根.

注：任一實數a與它的2n+1次方根是相互唯一確定的.

奇次方根的三條性質：

（1）若a>0，則2n+1a是一個正數;

（2）若a=0，則2n+10=0;

（3）若a<0，則2n+1a是一個負數.

定義4 當a≥0時，a的2n+1次方根稱為a的2n+1次算術根，或稱為奇次算術根.

方根和算術根可以分別統一定義如下

定義5 若xⁿ=a（n∈N，n>1），則稱x為a的n次方根.

定義6 非負實數a的非負的n次方根稱為a的n次算術根，記作

na（a≥0，n∈N，n>1）.

注：約定na（a≥0）只表示a的n次算術根.當然，算術根也是方根;反之不然.

求a的n次方根的運算叫做開n次方，a叫做被開方數，n叫做根指數.

定理1 對于任一非負實數a，它的n次算術根na存在而且唯一.（證明略）

由方根和算術根的定義，根據定義的可逆性，容易得到以下兩條性質：

1°（na）n=a（其中，當n為偶數時，自然以a≥0為為前提）

2°nan=a（n為奇數），nan=a（n為偶數）

注：上述1°、2°未必都是指算術根.

2.方根與算術根的聯系與區別

方根與算術根的關系，可用如下示意圖來表示：

a的2n

次方根a>0時，2na

-2na

a=0時，2n0=0

a<0時，2na無意義a的2n次算術根，

即2na（a≥0）

a的2n+1

次方根a>0時，2n+1a

-2n+1a

a=0時，2n+10=0

a<0時，2n+1aa的2n+1次算術根，

即2n+1a（a≥0）

3.算術根的本質及其作用

（1）算術根的概念確定了算術根的唯一性（單值性）.

（2）任一方根都可用算術根的形式來表示.

1°當a>0時，a的2n次方根中的-2na就是a的2n次算術根2na的相反數.

2°-a（a>0）的2n+1次方根2n+1-a=-2n+1a，即為a的2n+1次算術根的相反數.

（3）算術根有許多簡便易行的運算性質（含運算法則），可以直接用于算術根的計算和化簡.稍加處理，還可運用到一般的根式運算和化簡中去.

（4）可以避免在根式運算或化簡中容易發生的錯誤.

（5）求解某些實際問題，其結果為方根且是非負數，用算術根來表述會更簡便明確.

二、根式的運算性質和變形

1.根式的運算法則

下列法則都是就算術根而言的，大寫字母A、B可以是常數，也可以是解析式.

法則1（根式的基本性質）npAmp=nAm（A≥0，m，n，p∈N，n>1）

法則2（積的開方）nAB=nA·nB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法則3（商的開方）nAB=nAnB（A≥0，B>0，n∈N，n>1）

法則4（根式的乘方）（nA）m=nAm（A≥0，m，n∈N，n>1）

法則5（根式的開方）mnA=mnA（A≥0，m，n∈N，m>1，n>1）

法則6（根號內外移進移出）nAnB=AnB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法則7（通根指數）nA=nk1Ak1=pAk1（A≥0，n∈N，n>1），

mB=mk2Bk2=pBk2（B≥0，m∈N，m>1），其中p是n與m的最小公倍數，p=nk1=mk2

注：法則4、法則6的特例（nA）n=nAn=A（A≥0），當然，這個式子也可由n次算術根的定義直接得到.

2.根式的化簡

定義7 若根式滿足如下三個條件，就稱為最簡根式.

（1）被開方數的指數與根指數互素;

（2）被開方數的每一個因式的指數都小于根指數;

（3）被開方數不含有分母.

例如8a4b6c2=8（a2b3c）2=4a2b3c（a≥0，b≥0，c≥0）已經化成了最簡根式.這里的被開方數（a2b3c）的指數1與根指數4互素，并不要求被開方數的每一個因子的指數與根指數互素.

根式化簡的目標是最簡根式.在根式的運算或化簡過程中，式子里如果分母中含有根號，通常還要將分母有理化，而有理化的關鍵是找它的共軛根式.

定義8 若M與N是兩個不恒為零的含有根式的代數式，其乘積MN不含有根式，則稱M與N互為有理化因式，或共軛根式.

對于幾類特殊根式，其共軛根式有規律可循，列舉若干對如下：

（1）35與352;4xy3z2與4x3yz2;nAk與nAn-k.

（2）a-b與a+b;pA+qb與pA-qb.

（3）nA-nB與nAn-1+nAn-2B+…+nABn-2+nBn-1.

（4）nA+nB與nAn-1-nAn-2B+…-nABn-2+

nBn-1（n為奇數），

nAn-1-nAn-2B+…+nABn-2-

nBn-1（n為偶數）.

上述共軛根式的主要依據是應用乘法公式.

分母有理化，有時候也不能一步到位，需要分步驟進行.

例 將133+2分母有理化.

解 133+2=33-2（33+2）（33-2）=33-239-2

=（33-2）（392+239+22）（39-2）（392+239+22）

=（33-2）（333+239+4）.

根式化簡的目的是朝著有利于解決問題的方向.如果分母有理化解決不了問題，有時候可以考慮分子有理化.其方法是將分子和分母同乘以分子的共軛根式，例如求函數的極限，就可能遇到這種情況.

3.根式的計算

根式的運算要遵循算術運算的一般定律以及算術根的運算法則來進行.

定義9 根指數與被開方數分別相同的兩個根式稱為同類根式;根指數相同的兩個根式稱為同次根式.

根式運算的要點

（1）若干個根式的加減運算，就是求它們的代數和.通常先將各個根式分別化為最簡根式，然后合并同類根式.

（2）同類根式相乘除時，可將被開方數相乘除，根指數不變（即運算法則2和3）;異次根式相乘除時，可運用根式運算法則7，先化成同類根式，再相乘除.兩個根式相除，可以將被除式與除式分別寫成一個（廣義的）分式的分子與分母，然后將它分母有理化，以求其商.

（3）根式的乘方和開方，按運算法則4和5進行.

（4）混合運算，按整式、有理式的運算性質、運算順序和根式的運算法則進行.

（5）正確運用根式的運算性質，注意到是算術根的運算，還是要分情況加以討論.對于運算法則有時要逆向使用，要善于靈活運用.以有意義為前提，應該是恒等變形.

（6）依據從幾類具體例子的求解中總結出的一般形式，可作為公式（根式的運算性質）使用.

（7）依據開方和乘方互為逆運算的關系，利用乘方運算求方根，如平方法、立方法、n次方法.

以下介紹幾種常見類型的根式的開方運算方法.

1° A±B的平方根的計算

A±B的算術平方根的計算公式為：

A±B=12（A+A2-B）±12（A-A2-B）（A>0，B>0，A2>B）.

注：證明略.當A2-B恰為一個完全平方式時，含有二重根號的代數式便化為只含單重根號的代數式.運算技巧上另有捷徑，詳見《根式及其教學研究（基礎篇）》的復合二次根式.

2° AB±CD的平方根的計算

設x=AB，y=C2D，則AB±CD=x+y，歸結為類型1°的計算.

例如，求42±26的平方根.

設x=42，y=24，則x2-y=8，按類型1°的計算公式不難求得42±26的平方根為±（418+42）.

3° A±B的立方根的計算

定理2 若3A+B=x+y成立，則3A-B=x-y也成立;反之亦然.

證 （這里只證逆命題）由3A-B=x-y兩邊立方得

A-B=x3-3x2y+3xy-yy，于是有A=x3+3xy，B=3x2y+yy.

從而有A+B=x3+3x2y+3xy+yy=（x+y）3，所以3A+B=x+y.

例如，求99+702的立方根.

解 設399+702=x+y，兩邊立方得99+702=x3+3x2y+3xy+yy，于是有99=x3+3xy ①，又有399-702=x-y（根據定理2），

從而3（99+702）（99-702）=（x+y）（x-y），即x2-y=1 ②.

由①和②得4x3-3x-99=0，解此方程得唯一實根x=3，從而y=8.

所以399+702=3+22.

4° AB±CD的立方根的計算

有的靈活變形后可直接歸結為類型3°的計算.例如，求505-3015的立方根.

解 3505-3015=355（10-63）=5310-63，按A+B的立方根的計算方法可得310-63=1-3，所以3505-3015=5（1-3）=5-15.

不妨結合例子，看一看根式運算的一些具體方法.

例1 計算6x7a3x2x-y÷（3x7a2xx-y）（x>y）

解 原式=6x7a·7a3x6（x2x-y）2·（x-y2x）3

=2·6x4（x-y）3（x-y）2·（2x）3=2·6x（x-y）8=68x（x-y）.

例2 已知x=5+35-3，求x2+2xx2-2x-8的值.

注 本題如果x的值直接代入，運算量很大.應先分別化簡（包括分母有理化），然后代入再計算.

解 x=5+35-3=（5+3）2（5-3）（5+3）=4+15.

所以x2+2xx2-2x-8=x（x+2）（x+2）（x+4）=xx-4=4+154+15-4=4+1515=1+415=1+41515.

三、根式與分數指數冪的關系

1.分數指數冪的定義及其性質

（1）正分數指數冪

定義10 amn=nam（a≥0;m、，n∈N，n>1）.

用語言敘述：非負數的mn次冪，等于這個數的m次冪的n次算術根.

注：1°a≥0這個條件不可少，否則會引起混亂.

例如（-1）13=3-1=-1 ;而（-1）26=6（-1）2=61=1.

這說明分數指數冪當底數小于零時沒有意義.

2°在把根式化為分數指數冪時，要注意使底數為非負數.

例如5（-2）3=-523=-235; 3x2=3x2=x23.

（2）負分數指數冪

負整數指數冪的意義是：a-p=1ap（a≠0.p∈N）與此相仿，有：

定義11 a-mn=1amn=1nam（a≥0;m∈N，n∈N，n>1）.

（3）分數指數冪的運算性質

根據上述定義不難知道，關于正整數指數冪的運算性質（含運算法則），對于分數指數冪也同樣適合.

2.兩種運算間的相互轉換

在建立了根式與分數指數冪的關系以后，兩種形式可以相互轉換.將根式表示成分數指數冪，應用冪的運算法則來作變形，往往更加方便、快捷.有的可將根式的運算歸結為有理數的四則運算.

例如，當a>0時，a5a3a10a7=a·a35·a-12·a-710=a1+35-12-710=a25=5a2.

在實際運算中，采取哪種形式，應視具體情況而定.

【參考文獻】

[1]余元希，田萬海，毛宏德.初等代數研究.北京：高等教育出版社，1988.

[2]李長明，周煥山 編.初等數學研究.北京：高等教育出版社，1995.