冰雹猜想的證明及其一般形式的推導

任澤紅

一、冰雹猜想的證明

冰雹猜想又叫角谷猜想：任取一自然數，是偶數，就除以2;是奇數，就3倍加1然后除以2，最終結果是1.

證明：設自然數f

當f是偶數：f2n = 1則f=2n ①

f1則f1≥ 3的奇數②

當f是奇數：3f+12n= 1則3f+1=2n ③

f2則3f+1≥ 3的奇數④

①③是我們要的結果.②④則要繼續3倍加1，再除2

②3f1+12n =1則3f1+1=2n

f3則f3≥ 3的奇數

④3f2+12n=1則3f2+1=2n

f4則f4≥ 3的奇數

3f3+12n= 1則3f3+1=2n

f5則f5≥ 3的奇數

3f4+12n=1則3f4+1=2n

f6則f6≥ 3的奇數 ……

如果用同余式將自然數分類，分成多少類，取決于模數，模4則分4類……

在此，用模6將數分為6類，模6余0，1，2，3，4，5，六類余數將自然數分6類，余0，2，4三類是偶數，是2的倍數，余0類是6的倍數也是3的倍數，可記為6x，余2，4類，可記為6x+2，6x+4.余1，3，5是奇數，余3是3 的奇數倍，可記為6x+3，余1，5類記為6x+1，6x+5.

當f或f1，f2，……是大于1的奇數，即可能是6x+1、6x+3、6x+5中的一類，3倍加1：

6x+1

6x+3

6x+5×3=3×（6x+1）

3×（6x+3）

3×（6x+5）=18x+3

18x+6+3

18 x+12+3=6（ ）+3，

6（ ）+3+1=6（ ）+4，

所以，任何一個奇數3倍加1，都會得到一個模6余4的偶數.

再看2n ：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29 =512 ………

模6：21余2，22余4，23余2，24余4，25余2，26余4，27余2，28余2 ………

2的奇次方模6余2，2的偶次方模6余4

證明：21=2 ，22=6-2，當2n 中n為偶數時：2n = 22×22×22×…×22=（6-2）×（6-2）×（6-2）×…×（6-2）=（36-24+4）×（36-24+4）×…× （6-2）

（36-24+4） =（3×6-2）×（3×6-2）×…×（6-2）

（3×6-2）=6（ ）-2

6（ ）-2

6（ ）-2是模6余4的數.

當2n 的n為奇數時，2n =22×22×22 ×…×21 =[6（ ）-2]×2=6（ ）-4 =6（ ）+2.

所以2n的n為奇數時，2n≡2（mod 6）;n為偶數時，2n≡4（mod 6）.

但是，模6余4的數，2n 只是其中一小部分，所以，當一個奇數3倍加1，得到一個模6余4的偶數時，如果這個偶數不等于2n，將會除以2n 得到一個奇數，斷續3倍加1，再除2……

在運算中，f2n≠f，3f+12n≠ f（除非f=1）所以，每次運算結果不等于原來的數值，所以，f≥3的奇數時，不存在循環數.

因此，奇數3倍加1最終會等于2n （準確的說是2的偶次方），除以2n 最終結果是1.

所以，冰雹猜想是正確的.

二、冰雹猜想的一般形式3f+b的推導

冰雹猜想是3f+1，是3f+b中的一個特例，對于3f+b，請看：

如果是3f+b，因為，3f是奇數 所以，b要是奇數，3f+b才會是偶數.

用模3將奇數分類，分為模3余1，2，0三類，記為：3x+1，3x+2，3x

當b=3x+1時，因為b是奇數，所以，3x是偶數，而且3x模6余0，而3f≡3（mod 6） 所以，3f+b=3f+3x+1是模6余4的偶數.所以，

3f+3x+12n最終等于1.

如b=7，3f+b=3f+7=3f+6+1 是模6余4 的偶數.所以，3f+7最終等于2的偶次方，3f+72n最終結果是1.

當b =3x+2時，因為b是奇數，所以3x是奇數，則3x≡3（mod 6）而3f≡3（mod 6），所以3f+b=3f+3x+2是模6余2的偶數.所以，3f+b=3f+3x+22n 最終結果是1.如b=5，3f+b=3f+5= 3f+3+2模6余2.因為2的奇次方是模6余2類，所以3f+5最終等于2的奇次方，3f+52n =1.

當b=3x時，因為b是奇數，所以3x是模6余3的奇數，而3f≡3（mod 6）.

3f+b=3f+3x是模6余0的數.因為2n不在此類.

所以3f+3x2n ≠1 所b=3f+3x將永遠進行3倍加3運算.

如b=9，3f+b=3f+9=3f+6+3是模6余0的數.

3f+9≠2n，3f+92n≠1

所以，3f+b的形式，b的取值是模3余1的數時，3f+b最終等于2的偶次方，3f+b2n 最終等于1;b取值是模3余2的數時，3f+b最終等于2的奇次方，3f+b2n最終等于1;b取值是模3余0的數時，3f+b永不等于2n ，3f+b2n永不等于1.