基于模型依靠平均駐留時間下的系統(tǒng)穩(wěn)定

段連偉 劉芬

【摘要】在不連續(xù)時間切換系統(tǒng)下，通過用類多李雅普諾夫函數(shù)方法和迅速平均駐留時間方法，對不穩(wěn)定的子系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，使系統(tǒng)穩(wěn)定.

【關(guān)鍵詞】指數(shù)穩(wěn)定;模型依靠平均駐留時間;迅速切換

1.介 紹

切換系統(tǒng)的主要思想是穩(wěn)定性分析.它的穩(wěn)定性越來越受到廣大學(xué)者的關(guān)注.因此，大量的有效率的方法被提出來處理切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定性問題.如今，一個新的概念“快切換”用來處理不穩(wěn)定的子系統(tǒng)，減少了保守性.文中對不穩(wěn)定的子系統(tǒng)處理方法：（1）不穩(wěn)定的子系統(tǒng)和穩(wěn)定的子系統(tǒng)用同樣的李雅普諾夫函數(shù)，但穩(wěn)定的子系統(tǒng)運(yùn)行時間足夠長.（2）不穩(wěn)定的子系統(tǒng)執(zhí)行迅速切換，穩(wěn)定的子系統(tǒng)執(zhí)行原來的切換.

2.問題構(gòu)想和正文內(nèi)容

不連續(xù)時間切換系統(tǒng)：

x（t）∈Rn是狀態(tài)向量，U（t）∈Rn控制輸入.σ（t）是切換信號.在有限數(shù)下，N-={1，2，…，N}，N表示子系統(tǒng)的數(shù)目.Aj和Bj是實(shí)值矩陣，對任意的j∈N-，它們維數(shù)相同.設(shè)定有r個穩(wěn)定的子系統(tǒng)（1≤r≤N），記S{1，2，…，r}，U{r+1，r+2，…，N}.

定義1 系統(tǒng)（1）在U=0時是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的，如果有常數(shù)α>0，β>0，滿足

‖x（t）‖≤-‖x（t0）‖exp（-β（t-t0）），t≥t0.

定義2 任意的t2>t1≥0，Nσp（t2，t1）表示在[t1，t2）上第p個子系統(tǒng)被激活的切換次數(shù).如果存在N0p≥0，τap>0，有Nσp（t2，t1）≤N0p+Tp（t2，t1）τap.

（2）

τap是平均駐留時間，N0p表示振蕩界.

定義3 任意的t≥t0和切換信號σ，Ncσp（t，t0）表示在區(qū)間[t0，t）上第p個子系統(tǒng)被激活的切換次數(shù).Ncp為振蕩界.p∈N-，如果有常數(shù)τcap>0和Ncp≥0，使得不等式成立Ncσp（t，t0）≥Tcp（t，t0）τcap-Ncp.

（3）

3.主要結(jié)果

一，所有的子系統(tǒng)有李雅普諾夫函數(shù)V（x（t）），系統(tǒng)慢切換;二，不穩(wěn)定的子系統(tǒng)執(zhí)行迅速切換，穩(wěn)定的子系統(tǒng)有李雅普諾夫函數(shù)Vp（x（t）），p∈S，不穩(wěn)定的子系統(tǒng)用李雅普諾夫函數(shù)Vc（x（t）），c∈U，定理2.

定理1

在任意切換信號給定的條件下，系統(tǒng)是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的.

r-T-+r+T+<-r*r2r1（t-t0）（0

τap>τ*ap=Inμpp（tp）.

（8）

由于σ（tk）=i，σ（t-k）=j，i≠j，μi≥1，使得Vi（x（tk））≤μiVj（x（t-k））.T+[t0，t）表示在[t0，t）時間不穩(wěn)定的子系統(tǒng)運(yùn)行時間.

r-=maxp∈Slnμpτap-αp（tp），r+=maxp∈Ulnμpτap-αp（tp），-=exp{∑Np=1NopInμp}，系統(tǒng)是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 對任意的T>0，t∈[ti，ti+1），

定理2 有類李雅普諾夫函數(shù)Vp（k），Vc（k）：Rn→R.r1，r2≥0，ζc>0，μp>1，0<μc<1，有（4）（5）（6）（7）成立和如下線性矩陣不等式：

結(jié)合（4），（5），（6），（7）系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.

證明：定理1有部分是相同的，略去，繼而可以得到：Vσ（T）（T）≤ exp{∑rp=1N0p·Inμp-Ncp·Inμc}·exp∑rp=1Inμpτap-αp（tp）Tp（T，0）·exp{Inμcτcap-βc（tc）}Tcp（T，0）·Vσ（0）（0）Tp（T，0）表示第p個子系統(tǒng)的時間，Tcp（T，0）表示運(yùn)行系統(tǒng)中不穩(wěn)定子系統(tǒng)的時間.令 1=exp∑rp=1N0p·Inμp-Ncp·Inμc，β11=maxInμpτap-p（tp），Inμcτcap-βc（tc），β1=-β11，由以上我們可以得到：Vσ（T）（T）≤1·exp（-β1（t-t0））·Vσ（0）（0）.

結(jié)束語 對系統(tǒng)中穩(wěn)定的子系統(tǒng)與不穩(wěn)定的子系統(tǒng)兩種處理方案.模型依靠平均駐留時間相比平均駐留時間可減少保守性，在設(shè)定的幾個線性矩陣不等式下，采用類李雅普諾夫函數(shù)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.