基于微分方程的高校實驗樓溫控系統模型分析

武慶彬 張旭升

【摘要】眾所周知，HVAC系統在大型樓宇建筑內智能調節室內溫度方面有著重要應用.由于實驗室和辦公室內環境相差較大，整個系統溫度調節能力有所下降.我們通過建立微分方程的方法，逐步改變環境增加變量完善溫控模型，從數學角度分析HVAC系統存在的缺陷并給出解釋和解決方案.

【關鍵詞】HVAC系統;高校實驗樓;溫控模型;微分方程

【中文分類號】O29

大學教學樓和實驗樓里面的溫度調節與空調不同.尤其是在實驗樓里，各房間溫度調節能力各不相同.我們打算采取與以往不同的方式，基于微分方程建立溫度模型對實驗樓里的溫度調節系統進行研究，通過建立不同的數學模型，以數學的視角來分析溫控系統調節整個實驗樓各個房間溫度的不同階段，并分析其中的優缺點，從數學角度給出解決方法.

以第一實驗樓為例，實驗室教學樓由四個學院辦公室和一個計算機機房組成，所有房間的溫度由單獨一個恒溫器（HVAC系統）控制，它被安裝在其中的一個辦公室內.假定影響室內溫度的主要因素有：室外溫度、HVAC的輸出量、HVAC的輸出的空氣的溫度、室內面積、室內人數和正在工作的計算機臺數.

為建立的模型易于理解，首先對應用最為廣泛的HVAC系統的工作原理進行淺顯易懂的簡介：當室溫等于或高于Ts+w華氏度時，HVAC系統開始工作，直到室內溫度達到Ts-w華氏度.同樣當室溫達到或低于T_s-w時，HVAC系統停止工作，直到室內溫度達到Ts+w華氏度.冬季剛好相反，室溫會一直保持在T_s-w華氏度到T_s+wT_s+w華氏度之間，為保持室內常溫，HVAC系統不會進行連續轉換.

一、基礎模型

考慮第一個影響因素即室外溫度時，我們建立最簡單的溫度模型：牛頓冷熱原理.原理為，物體溫度的變化率與物體溫度和其周圍物體的溫度之差成比例.即室內溫度的變化率與室內溫度和室外溫度的溫度之差成比例.微分方程為：

dTdt=k（Ta-T）.

其中T_a表示室外溫度，T表示室內溫度，k為房間周圍的隔熱層，是房間的固有屬性.求解得：

T（t）=T_a+T₀-Tae-kt.

其中 T0表示室內的初始溫度.

二、引入HVAC系統

當把 HVAC系統的因素考慮進去時，新的微分方程為

dTdt=k（Ta-T）+rV（THVAC-T）.

其中THVAC 表示的是系統產生的冷空氣的溫度，r是冷空氣吹出的速率，V是實驗室的體積.求解微分方程，當dTdt=0時平衡溫度為 T平衡=VkTa+rThaveVk+r.

給點任意初始溫度，空調系統都會使得室內溫度接近T平衡.

三、模型整合

將兩個模型進行結合，構成單個微分方程描述安裝了HVAC系統的單個房間的室內溫度.通過利用取值為0和1的分段函數使得微分方程描述的溫度在這兩個值之間轉換，即 dTdt=k（Ta-T）+step（T）rV（THVAC-T）.

其中step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w.

0，otherwise.

如果室溫上升，達到Ts+w華氏度時，分段函數轉換成某個值（step（t）=1），但是如果室溫下降，達到Ts-w華氏度時，分段函數也會轉換（step（t）=0）.

四、模型推廣

當房間數由一個變為兩個時，模型變得復雜.首先忽略人和計算機對于溫度的影響，則辦公室和實驗室的溫度由下面的方程組表示：

dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（x），

dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（x）.

其中，F是辦公室內的溫度，L是實驗室內的溫度，k1 和 k3 分別為辦公室和實驗室的隔熱層，是房間的固有屬性.K2是HVAC系統從室外向辦公室內充入的空氣的體積和辦公室的體積之商，即rFVF.K4是HVAC系統從室外向實驗室內充入的空氣的體積和實驗室的體積之商，即rLVL.如果恒溫器在辦公室則x等于F，如果恒溫器在實驗室則x等于L.

五、空調開關

上述模型中還留有空調的開關問題，即step（x）.因為空調的開關僅僅依賴于放置有恒溫器的房間的溫度，卻控制著所有房間的溫度.以本文為例，恒溫器放在了辦公室內.在夏季，辦公室和實驗室的溫度都很高，由于辦公室的面積沒有實驗室大，工作人員和工作電腦沒有實驗室多.所以，實驗室的溫度高于辦公室內的溫度.即L>F.當辦公室內的溫度大于Ts+w華氏度時（這時顯然F也大于Ts+w華氏度），HVAC系統開始工作，辦公室和實驗室內的風管都開始向室內充入溫度相同（為THVAC）的冷氣，兩個房間溫度都開始下降，辦公室內溫度下降得快.當辦公室內的溫度達到甚至低于Ts-w華氏度時，實驗室內的溫度還很高.但是由于開關是根據辦公室內的溫度進行判斷，即

所以盡管實驗室內的溫度還很高，HVAC系統還是停止工作.根據模型一牛頓冷熱原理，辦公室和實驗室內的溫度都開始上升，直到辦公室內的溫度達到或高于Ts+w華氏度（此時實驗室內溫度已經遠遠高于T_s+w華氏度），HVAC系統再次開始工作，如此反復循環.這就導致了實際上HVAC系統設定的舒適溫度（T_s-w華氏度到T_s+w華氏度）只有辦公室內溫度才滿足，而實驗室內的溫度始終都很高.

這反映在溫度-時間圖上，就可以看到實驗室內的溫度始終比辦公室內的溫度要高.而在冬季，這剛好相反.所以，這顯然不合理，是系統的一個缺陷.

六、加 權

現在我們來解決問題，首先我們在實驗室和辦公室都安裝溫度傳感器.我們對F和L進行加權，即T=w₁F+w₂L（w₁+w₂=1）.我們將用T控制HVAC系統的開關.確定合適的權重w₁和w₂后，最終返回給HVAC系統的開關的將不再是單純的恒溫器所在房間的溫度（在本文中即辦公室內的溫度），而是辦公室和實驗室的溫度的加權，即T=w₁F+w₂L（w₁+w₂=1）.

使得HVAC系統的開關stepT將由實驗室和辦公室的溫度共同控制，進而使實驗室和辦公室的溫度都舒適.最終建立的微分方程組為

dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（T），

dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（T）.

其中 step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w，

0，otherwise.

而其中T=w1F+w2L（w1+w2=1）.

在原先的模型中.在夏季，當室內溫度X等于或高于Ts+w華氏度時，HVAC系統開始工作，通過通風管向所有房間內沖入冷氣，直到X達到Ts-w華氏度.同樣的，當溫度達到或是低于Ts-w時，HVAC系統停止工作.在冬季，正好相反.

所以在新建立的模型中，開關中的溫度T=w1F+w2L

即step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w

0，otherwise 將取代原先的STEP（X）.

七、確定權值

現在的問題是如何確定權重w₁，w₂從而確定T=w₁F+w₂L.T將是通過溫度傳感器反饋給HVAC系統的溫度數值.由于HVAC系統的職能就是保證室內溫度（即反饋給它的溫度）最終保持在{Ts-w，Ts+w}范圍內.所以Ts-w≤T≤Ts+w.

下面來求：F，L

由dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L）·step（x），

dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）·step（x）.

當hvac系統工作時step（x）=1，則

dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L），

dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）.

對上述兩個常微分方程進行求解，解得：

F=e-（k1+k2）t+1/（k1+k2）（k1Ta+k2Thvac），

L=e-（k3+k4）t+1（k3+k4）（k3Ta+k4Thvac）.

所以T=w1F+w2L=w1F+（1-w1）L =w1e-at-e-bt+1k1+k2（k1Ta+k2Thvac）-1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）+ e-bt+1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）.

由Ts-w≤T≤Ts+w，知

Ts+w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤w1≤

Ts-w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4.

令左式= f（t）， 右式=g（t），則f（t）max≤w1≤g（t）min.

然后通過求解 確定f（t）max和g（t）min，

Ts+ω-k3Ta+k4Thvack3+k4-1k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤ω1≤Ts-ω-k3Ta+k4Thvack3+k4k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4

由w₂=1-w₁可以求得w₂.

上述求解過程是建立在T=ω₁F+ω₂L中F與L是當step（x）=1時求得的.若當step（x）=0時，即HVAC系統不工作，那就沒有必要求解w₁，w₂.因為w₁，w₂反映在現實的HVAC系統中具體表現就應該是HVAC系統往辦公室和實驗室內充入的冷氣的量.只有當HVAC系統工作時，求出的w₁，w₂才有意義.

對于具體實驗室，上式中的每個字母都有具體的含義.需要對應具體的環境得到具體的數據，得到具體的w₁，w₂.

八、模型總結

我們建立的數學微分方程模型發現了HVAC系統中存在的不足，為HVAC系統的完善提供了理論參考，但是鑒于缺少足夠的實驗數據來證實我們建立的模型的合理性，所以建立的實驗模型還不夠完善.模型限制條件不夠多，環境較為理想化，沒有足夠模擬現實條件中的環境.因此，進一步完善和加強我們的模型條件，使其具有一般性，能夠對大多數HVAC空調系統有借鑒和參考意義.

【參考文獻】

[1]解學書.最優控制理論與應用[M].北京：清華大學出版，1986.

[2]邵惠鶴.工業過程高級控制[M].上海交通大學出版社，1997.