化歸方法中常見問題的處理

曹輝

轉化的思想是高中數學中常見、常用的數學思想方法，轉化的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡.本人在教學中發現，同一道數學問題不同的學生來思考或同一名學生以不同的角度用不同的方法來思考，可能會得到截然不同的結果.一部分原因是由于對問題的轉化不等價造成的.本文就針對轉化中的等價轉化中常見的問題進行研究.

一、三角函數及解三角形中的等價轉化問題

1.設△ABC內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列，則sinA+tanCcosAsinB+tanCcosB的取值范圍是

.

學生解法：原式=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sinBsinA=ba.

（1）

∵b2=ac，

∴（1）=ca，由構成三角形的條件可知：a+b>c，a+c>b，b+c>a且b2=ac，不等式組轉化為a+ac>c，a+c>ac，ac+c>a，解得：5-12

問題剖析：（1）式的得到實際上利用了轉化的思想，但在問題的轉化中，（1）式與原式并不等價.原因是：原式中要求C≠π2，而（1）式中，C可以等于π2，這就造成了在化歸中（1）式和原式不等價性，即滿足的是充分不必要條件，范圍被擴大了.原式須等價轉化為（1）式和條件c2≠a2+b2，正解為5-12，5-12∪5-12，5+12.

二、函數中的等價轉化問題

2.設f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，則b2+c2的最大值與最小值的和為

.

學生解法：∵f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，易知f（3）=1，即9+3b+c=1，∴c=-8-3b.

（1）

f（x）=x2+bx-3b-8，|x|≥2，f（x）≥0|x|≥2，b（3-x）≤x2-82≤x<3或x≤-2時，b≤x2-83-x.

x>3時，b≥x2-83-x;x=3時，b∈R.解得：-8≤b≤-4.

（2），

由（1）（2）可知：b2+c2=10b2+48b+64，

∴（b2+c2）min=32，（b2+c2）max=320.

問題剖析： ∵f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，只滿足f（3）=1（c=-8-3b）不能說明f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，需加條件-b2≤52，即b的范圍為[-5，-4].

三、不等式中的等價轉化問題

3.已知二次函數f（x）=ax²+2bx+c（c>b>a），其圖像過點（1，0），且與直線y=-a有公共點，則

ba的取值范圍

.

學生解法：由題設：a+2b+c=0，c>b>a得：a<0，c>0c=-a-2b>0，解得ba>-12.

又y=-a有公共點得：方程ax2+2bx+c+a=0有實根， 即：Δ=4b2-4a（c+a）=b2+2ab≥0，解得ba≥0或ba≤-2，綜上：ba≥0.

問題剖析：上述解法的范圍被擴大了，滿足的條件應為：-a-2b>b

-a-2b>a

b>a

b2+2ab≥0，解得0≤ba<1.

四、解析幾何中的等價轉化問題

4.F1，F2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點，P，F1，F2為直角三角形的三個頂點，則P到x軸的距離為

.

學生解法：（1）若 P為直角頂點，設P （x，y）.焦點F1，F2的坐標分別是（-3，0），（3，0）.由PF1⊥PF2可得PF1·PF2=0，∴x2-9+y2=0，將該式代入橢圓方程得|y|=163.

（2）若F1為直角頂點，設P （x，y），將x=-3代入橢圓方程得，|y|=165.

問題剖析：通過上面的分析可以發現，在第一類討論中將|y|=163代入x2=9-y2會發現x2<0，這樣的x值不存在，也就是說P不可能是ΔPF1F2的直角頂點.因此|y|=163是錯解.已知兩個二次曲線方程，判斷它們的位置關系，不能使用判別式了，因聯立方程后所得方程中變量的取值范圍發生了變化，即方程的轉化不等價.解答時要看方程組解的情況.

在高中的學習過程中，需要對等價轉化的思想方法進行理解、深化，即等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的，等價轉化要求轉化過程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保證轉化后所得結果為原題的結果.

【參考文獻】

[1]朱紅霖.中學數學思維隱形錯誤探源.中學數學研究，2012年第二期.

[2]靈東.這種解法怎么少了一個值.中學數學教學參考，2013年第4期（上旬）.