拼接巧處理，找外接球的球心

高映俊

【摘要】立體幾何中求有關多面體的外接球的問題越來越受關注，難度也較大，學生不容易建立空間的線面關系，所以我想幫助學生準確找到他們之間的關系，仔細研究了如下幾題，發現我們可以采用拼接的方法，使得問題簡單化.

【關鍵詞】立體幾何;拼接;方法

1.已知正方體的邊長為a，求外接球的半徑.

講解：外接球就是指正方體的8個頂點都在同一個球面上，即球心到8個頂點的距離相等，所以球心在什么位置？

學生思考后回答：在正方體體的中心，師問：是不是體對角線的中心？

在黑板上畫圖幫助學生理解，找到正方體棱長和球半徑的關系即直徑等于體對角線長，也就是3a=2R，得到R=32a.再應用幾何畫板給予充分的演示，使學生充分理解這一問題.

2.已知長方體的三個邊長分別為a，b，c，求外接球的半徑.

學生思考后容易得出，長方體的外接球球心也在體對角線的中點處，找到棱長與直徑的關系即直徑等于體對角線長，也就是a2+b2+c2=2R，得到R=a2+b2+c22.

總結：找一個多面體的外接球主要是確定球心的位置即空間一個點到多面體各個頂點的距離都相等，那么這個點就是球心，球半徑為球心到任何一個頂點的距離.

3.已知一個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且長度分別為3，4，5，求它的外接球的表面積.

分析：要求外接球的表面積得先求外接球的半徑，具體而言就是找球心的位置.

對于這樣一個三棱錐學生沒法找，我們就原把它拼接成長方體，長方體的外接球和這個三棱錐的外接球是同一個球，這樣問題就迎刃而解了.

4.一個各棱長都為2的四面體的四個頂點都在同一球面上，求該球的表面積.

分析：對于這樣一個正四面體學生想不來，更別說是找外接球的球心了，我們利用模型讓學生理解這樣的正四面體是從正方體中切出來的，這樣的話這個正四面體的外接球其實就是正方體的外接球，容易解決問題.課堂上為了讓學生能準確理解這一問題，我自己做了一個實體模型，讓學生看著我來切去四個三棱錐，變成一個正四面體，直接觀察到正四面體的棱長為正方體的面對角線的長.再在黑板上畫出直觀圖，再次讓學生證實這一點.假設正四面體的棱長為a，則正方體的邊長為22a，得到正方體的體對角線即外接球的直徑長為62a.

5.三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，且各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求此球的表面積.

分析：畫出幾何體的直觀圖，也可以在拼接一個等大的三棱柱，變成一個四棱柱.再次明確我們要找的是外接球的球心即在空間找一個到各個頂點的距離都相等的點，我們這樣找，先找到上底面的3個頂點的距離相等的點，分析上底面，經過拼接后底面變成一個角為60°的菱形，是兩個等邊三角形拼接而來的，容易知道DA=DB=DC，在棱DD1上任取一點E，由圖明顯可得，△ADE≌△BDE≌△CDE，所以到頂點A，B，C距離相等的點在棱DD1上，同理可得到頂點A1，B1，C1距離相等的點也在棱DD1上，故球心是棱DD1的中點，半徑為DB=5.

多面體的外接球是個立體幾何中的難點問題，通過拼接成熟悉的正方體和長方體能簡化問題，使得學生能快速準確的解答某些問題，但是對于角復雜的一些題目還是要根據立體幾何中的定理進行推理論證.