圓錐曲線中一條過定點直線的探究之旅

王立振 袁清雯

本文討論在圓錐曲線上兩點M，N與左頂點A，有MA⊥NA的關系，直線MN是否過定點的問題.

探究1 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左頂點為A（-a，0），M，N兩點分別在橢圓C上且MA⊥NA，求證：直線MN過定點.

驗證：（1）當直線的斜率不存在時，即MN⊥x軸時，記直線可設直線MN：x=m，可得Mm，baa2-m2，Nm，-baa2-m2.又由MA⊥NA， 則 baa2-m2=m-（-a），經化解可得m=-a（舍，記得A點）或m=-a（a2-b2）a2+b2.

所以直線MN的方程為x=-a（a2-b2）a2+b2，故其定點坐標為-a（a2-b2）a2+b2，0.

（2）當斜率存在時，令M（x1，y1），N（x2，y2），設MN：y=kx+m，得y=kx+m，

x2a2+y2b2=1， 化解：（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0.有x1+x2=-2a2kmb2+a2k2， x1·x2=a2（m2-b2）b2+a2k2;因為MA⊥NA，所以x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m） =（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+（a2+m2）=0，將上述x1+x2，x1x2代入上式中，化解可得（a2+b2）m2-2a3km+a2k2（a2-b2）=0，解得m=ak或m=ak（a2-b2）a2+b2.

當m=ak時，直線MN的方程為：y=kx+ak=k（x+a），恒過（-a，0），不符題意;

當m=ak（a2-b2）a2+b2時，直線MN的方程為：y=kx+ak（a2-b2）a2+b2=kx+a（a2-b2）a2+b2 恒過點-a（a2-b2）a2+b2，0.故：在橢圓中，直線MN恒過點-a（a2-b2）a2+b2，0.

那么雙曲線是否也有橢圓這樣的性質呢？

探究2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點為A（-a，0），M，N兩點分別在雙曲線C上，且MA⊥NA，求證：直線MN過定點.

證明：（1）當直線的斜率不存在時，即MN⊥x軸時，設直線MN：x=m，可得Mm，bam2-a2，Nm，-bam2-a2.又由MA⊥NA， 則 bam2-a2 =m-（-a），經化解可得m=-a（舍，記得A點）或m=-a（a2+b2）a2-b2.

（注：當a2-b2=0時，由MA⊥NA，有-2a2=2ma，得m=-a，即直線MN與x軸的交點為A點，不符題意.）

所以直線MN的方程為x=-a（a2+b2）a2-b2，故其交點坐標為（-a（a2+b2）a2-b2，0）;

（2）當斜率存在時，令M（x1，y1），N（x2，y2），設MN：y=kx+m，得y=kx+m，

x2a2-y2b2=1，

化解（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2（m2+b2）=0.

（注：當b2=a2k2時，k=±ba，直線MN與漸近線平行，所以MN與雙曲線有兩個交點，舍）有x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1·x2=-a2（m2+b2）b2-a2k2;

因為MA⊥NA，所以 x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+（a2+m2）=0，將上述x1+x2，x1x2代入上式中，化解得（b2-a2）m2+2a3km-a2k2（a2+b2）=0，解得m=ak或m=-ak（a2+b2）a2-b2.（注：當a2-b2=0時，由MA⊥NA，有2a3km-2a4k2=0，得k=0或m=ak.當m=ak時，即直線MN與x軸的交點為A點，舍;當k=0時，即直線MN與x軸平行，與x軸無交點，舍）.

當m=-ak（a2+b2）a2-b2時，直線MN的方程為y=kx+ak（a2+b2）a2-b2=kx+a（a2+b2）a2-b2.

恒過點-a（a2+b2）a2-b2，0.故：在雙曲線中，直線MN恒過點-a（a2+b2）a2-b2，0.

結束語

著名詩人雪萊說：“除了變，一切都不能長久”.中學數學教師要有一種簡單而執著的追求——將運動變化進行到底，解法的變化、問題的變化、教法的變化，通過對數學“變化”的執著追求.體現數學家的思維方式，折射教師的理念和智慧，用行動去感染學生、激勵學生.