例談解題過程中反思習慣的培養

謝普鳳

經常有學生這樣問：“我們如何才能更有效的做數學題呢？”

喬治·波利亞是20世紀舉世公認的數學家，著名的數學方法論大師.波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，得到的一張《怎樣解題表》.怎樣解題表的主要內容是：第一步：你必須弄清問題.1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數，條件是否充分？2.畫張圖，將已知標上.3.引入適當的符號.4.把條件的各個部分分開.第二步：找出已知與未知的聯系.1.你能否轉化成一個相似的、熟悉的問題？2.你能否用自己的語言重新敘述這個問題？3.回到定義去.4.你能否解決問題的一部分？5.你是否利用了所有的條件？第三步：寫出你的想法.1.勇敢地寫出你的方法.2.你能否說出你所寫的每一步的理由？第四步：回顧.1.你能否一眼就看出結論？2.你能否用別的方法導出這個結論？3.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？

每年我都會把這張表印發給我的學生，來解決剛才開頭學生提出的問題.但收效甚微，因為很少有人會看，即使看了也是簡單瀏覽罷了，沒有用心體會和實踐.我們平常教學的過程中也基本是按照上表的步驟來進行的，但很多學生看到數學題還是頭疼，毫無思緒，最關鍵的原因還是沒有最好反思即回顧這一步，缺了這一步所學的知識和方法就是零散的、沒有系統性，更不能提煉出最重要的數學思想和方法.

本文就自己在教學《平面向量》過程中的一點體會來重點說說第四步（回顧）在解題習慣中的培養.

例 在△ABC中，AC=3，AB=4..P為BC垂直平分線上一點，則AP·BC=

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分析 這道題本身并不難，只要學會了轉化思想，并有向量問題的基本方法：基底法，很快就可以算出正確的答案，即解法一如下：

AP·BC=AM+MP·BC=AM·BC+MP·BC=12（AB+AC）·（AC-AB）.

12（AC2-AB2）=12（9-16）=-72.

正當學生開心于解出正確答案嘰嘰喳喳的時候，我說：同學們這道題能不能一眼就看出答案呢？這時他們用驚訝的表情看著我，心想我毫不容易作出來的題目竟然還能一眼看出答案，很不服氣的樣子，有幾個聰明的學生很快的開始低頭思考.不一會兒就有學生甲舉手說：老師我想起來了，因為這是填空題，可以用特殊位置法啊！？即解法二如下：

當點P與M重合時，AP·BC=12（AB+AC）·（AC-AC）以下同解法一.答案幾乎一眼就看出來了，太棒了！接著我說：這題還有其他的解法嗎？受到剛才學生的思維啟發和學習熱情的影響，全班投入到了積極的思考中.學生乙說：老師我們可以從本題的條件“P為BC垂直平分線上一點”出發得到：PC=PB，從而得到了解法三如下：

∵PC=PB，∴AC-AP=AB-AP

∴AC-AP）2=AB-AP）2，AC2-AB2=2AP·（AC-AB）=2AP·BC∴9-16=2AP·BC，AP·BC=-72.

正當大家為學生乙的精彩解法鼓掌的時候，學生丙說：老師這題還可以用向量的坐標法來解啊！即如下的解法四：

以點B為坐標原點，BC所在直線為X軸，建立直角坐標系;設B（0，0），C（a，0），A（x，y），P（a2，z），則BC=（a，0），AP=-x-a2，y-z.

AP·BC=-ax-a2=-ax+12a2，AB=（x，y），AC=（x-a，y）.

AB2=x2+y2=16，AC2=（x-a）2+y2=9，∴2ax+a2=7，∴AP·BC=-72.

這時教室里響起了經久不息的掌聲.你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題嗎？我們不妨看以下這道題目：

上課聽講不是說聽老師是怎么解出的，而是要聽老師是怎么分析的，為什么要想到這樣的思路，有別的想法嗎？這個題的題眼是什么，解題關鍵是什么？如果你堅持用這樣的方法聽課，再做到舉一反三，很快你就會發現解決數學難題也不麻煩，而且很有趣.