利用解析幾何證明歐拉線的研究

焦阿妮

【摘要】任意三角形的垂心、重心和外心在一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.眾所周知，等邊三角形的垂心、重心和外心重合為一點，每條通過等邊三角形中心的直線，都同時通過它的垂心、重心和外心.那么，一般地任意三角形的垂心、重心和外心是否在同一條直線上？這是一個平面幾何問題，本文試用解析幾何方法為其證明解答.

【關鍵詞】解析幾何;歐拉線;三角形

1.引 言

直角三角形斜邊上的中線，在幾何問題里經常遇見，如圖1所示，直角三角形斜邊上的中線連接著直角頂點和斜邊的中點.直角頂點是直角三角形的垂心（三條高線的交點）.斜邊中點是直角三角形的外心（外接圓的圓心）.當然，這條中線還通過直角三角形的重心（三條中線的交點）.一線過三心：垂心、重心和外心.

2.解析幾何證明歐拉線方法

可以預料，在利用坐標進行計算的過程中，必然要用三角形頂點的坐標分別表示出垂心、重心和外心的坐標.無論最后結果如何，這些表示式都是有參考意義的.

設在任意三角形ABC中，垂心是H，重心是G，外心是P，希望能夠證明，三點H，G，P在一條直線上.

如圖2所示，建立平面直角坐標系，取A為原點，并使B在x軸正半軸上，C在x軸上方.

為了便于辨認各點的坐標，將點H的坐標記為（h，h′），點G的坐標記為（g，g′），其余類推.

在這樣的記號下，有 a=0，a′=0，b′=0，b≠0，c′≠0.

由于不必考慮直角三角形和等腰三角形的平凡情形，還可認為c≠0，b≠c，b≠2c.

重心G的坐標等于頂點對應坐標的算術平均值，所以

g=b+c3，g′=c′3.

①

從圖2容易看出，垂心H的橫坐標與C相同，外心P的橫坐標與AB的中點E相同，即 h=c，p=b2.

②

用記號kBC表示直線BC的斜率，其余類推，易得

kBC=c′c-b，kAH=h′c.

因為直線AH⊥BC，所以它們的斜率之積為-1，即

h′c · c′c-b=-1.

由此得 h′=c（b-c）c′.

③

設D是BC的中點，那么它的坐標是

d=b+c2，d′=c′2.

因而 kPD=c′2-p′b+c2-b2=c′-2p′c.

因為PD//AH，所以兩直線斜率相等： c′-2p′c=h′c.

由此得 c′-2p′=h′.

因而 p′=c′-h′2.

④

到此為止，已將重心G，垂心H和外心P的坐標全部求出（① ～ ④式），由此易得

p-g=b2-b+c3=b-2c6，

p′-g′=c′-h′2-c′3=c′-3h′6，

g-h=b+c3-c=b-2c3=2（p-g），

g′-h′=c′3-h′=c′-3h′3=2（p′-g′）.

因而 g′-h′g-h=p′-g′p-g.

這樣就證明了，三點H，G，P在同一條直線上.

以上通過坐標計算，用解析幾何方法證明了歐拉線定理.

【參考文獻】

[1]張成華，謝杰.歐拉線[J].數苑縱橫，2005（10上）.

[2]張裕文.歐拉定理 費爾巴哈定理及相關命題的統一證明[J].數學通報，2004（10）.