論初等函數求導井然有序

張荔

【摘要】函數千千萬萬，最重要是哪些？數學中最重要也最常見的一大類函數是初等函數.所謂初等函數，是由不多的幾種基本初等函數經過有限次四則運算和復合運算得到的函數.基本初等函數共有6類，就是常數函數、冪函數、對數函數、指數函數、三角函數和反三角函數.這些函數的求導公式應當熟練掌握.

【關鍵詞】初等函數;求導

基本初等函數求導公式：

（1）常數C′=0.

（2）冪函數（xⁿ）′=nx^n-1（n非零整數，x∈（-∞，+∞））;

（x^α）′=αx^α-1（α非零實數，x>0）.

（3）對數函數（lnx）′=1x（x>0）;

（logx）′=1xlna（x>0）.

（4）指數函數（ex）′=ex;（ax）′=axlna.

（5）三角函數（sinx）′=cosx;（cosx）′=-sinx.

（tanx）′=1cox2x; （cotx）′=-1sin2x.

（6）反三角函數（arcsinx）′=11-x2（|x|<1）;

（arccosx）′=-11-x2（|x|<1）;

（arctanx）′=11+x2;（arccotx）′=-11+x2.

從上面這些公式出發，應用計算導數的運算法則，就能根據初等函數的表達式求出其導數，計算導數的運算法則提煉后可以歸結為下面五條：

（1）函數線性組合的導數：

（αf（x）+βg（x））′=αf′（x）+βg′（x）;

（2）函數積的導數：

（f（x）g（x））′=f′（x）·g（x）+g′（x）·f（x）;

（3）函數商的導數：

g（x）f（x）′=g′（x）f（x）-g（x）f′（x）f2（x）;

（4）復合函數的導數：

（f（g（x）））′=f′（g（x））g′（x）;

（5）反函數的導數：

若f（g（x））=x則g′（x）=1f′（g（x））

在應用這些法則求導時，所要求的條件簡單說來有兩條：一條是等式右端的求導運算可以進行，另一條是分母不為零.

以上的公式和法則，還可以再濃縮.就法則而言，由于α（f（x））′=αf′（x）是函數乘積公式的特殊情形，故i）可以簡化為函數和的求導法則即（f（x）+g（x））′=f′（x）+g′（x）.函數商和積的求導法則可以用取對數求導的方法導出，也就是

f（x）g（x）·g（x）f（x）′=ln|g（x）f（x）|′

=（ln|g（x）|）′-（ln|f（x）|）′

=g′（x）g（x）-f′（x）f（x）.

整理即得.此外，反函數求導公式可以從復合函數求導的鏈式法則導出.

這樣一來，求導法則中最基本的只有兩條，就是函數和的求導法則和復合函數求導的鏈式法則.

至于基本初等函數的求導公式，則可以歸結為三條：C′=0，（lnx）′=1x和（sinx）′=cosx.

于是，初等函數的求導，歸根結底就是兩條求導法則和三個函數的導數公式，這五條要從定義出發推出來，其他的則可以從這五條推出來.

這樣歸納雖欠嚴謹，但有助于從總體上理解把握，萬一沒把握好，就從這五條推一推，具體運用時，還是熟練掌握為好.

【參考文獻】

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[3]馬名顯.談初等函數單調性[J].鞍山師范學院學報，2006年03期.