山窮水復處 柳暗花明時

張煒

平面向量模的最值問題是浙江高考命題的熱點之一，也是其他省份的常考內(nèi)容.在高考復習中學生對向量有一種莫名的“恐懼”，對這個既有大小又有方向的量總是把握不好，對向量模的最值問題更是一頭“霧水”，不知如何處理.

向量的模，我們有兩方面可以考慮：首先向量的模即向量的大小，可以利用幾何意義考慮線段長度的最大（小）值;其次向量的模可以計算，利用代數(shù)意義考慮轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值（或恒成立問題）.下面就向量的模最值問題展開討論.

1.體會高考，領(lǐng)悟通解通法

我們先看一題

例1 （2015浙江高考數(shù)學理科第15題）已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12，若空間向量b滿足b·e1=2，b·e2=52，且對于任意x，y∈R，b-xe1+ye2 ≥b-xoe1+yoe2=1，x0，y0∈R 則x0=

，y0=

，|b|=

.

從幾何方面考慮，條件e1，e2是空間單位向量，e1·e2=12可知e1，e2的夾角為π3.空間向量b滿足b·e1=2b·e2=52則可知b在e1，e2上投影分別為2和52.故作四棱錐P-ABCO，∠BAC=60°，PO⊥面ABC，AC⊥PC，AB⊥PB，

令e1，e2為AB，AC上的單位向量，AP=b，

由題可知PO=AP-AO=b-x0e1+y0e2=1，AB=2，AC=52.

由余弦定理可得BC=212，因為點A，B，C，O 共圓，所以AO 為△ABC 外接圓直徑，結(jié)合正弦定理可得AO=7，∴|b|=AP=AO2+PO2=22.

易知AC⊥CO，AB⊥BO.

2.概括總結(jié) 提升探究能力

從例1可以看出，解題的切入點可以是從幾何意義出發(fā).考慮定義，向量的模即向量的長度，模的大小就是表示向量的有向線段的長短，從而可以轉(zhuǎn)化為兩點間距離的最大（小）.例1中b-xe₁+ye₂表示差向量的模，而xe₁+ye₂由平面向量基本定理可知表示與e₁、e₂共面的任意向量，這樣差向量的模的最小轉(zhuǎn)化為點到面的距離.在這里值得注意的是作為差向量的兩個向量要把握好一個向量為已知向量另一個向量為含有未知量的向量.在找到切入點之后如何求|b|，x₀，y₀則需要相應的幾何知識，例1中用到四點共圓、正弦定理以及平面向量數(shù)量積的幾何意義.

解題的切入點還可以從代數(shù)意義出發(fā)，模的大小用變量表示.被變量表示后則可以利用函數(shù)知識求最值，常用的方法有利用配方、單調(diào)性、導數(shù)、基本不等式、有界性等求最值;也可以利用判別式求最值，例1中用配方法和判別式法求模的最小值，由于問題中有兩個變量，一次用判別式不足以解決問題而是用了兩次;在配方時則選擇先對x 配方再對y 配方.

3.觸類旁通 提高解題能力

幾何方法主要考慮用兩點間距離表示差向量的模即兩點距離的向量形式，故適用于差向量的模的問題;代數(shù)方法主要利用函數(shù)求最值和判別式求最值.

我們再看一題.

例2 （2013年浙江高考理科17題）設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為π6，則|x||b|的最大值等于

解法一 （幾何方法）顯然x≠0，求|x||b|的最大值即求|b||x|最小值，|b||x|=xe1+ye2x=e1+yxe2，令t=-yx，則|b||x|=e1-te2，由差向量的幾何意義知e1-te2min即向量e1 的終點到向量e2所在直線的距離，∵e1=1，〈e1，e2〉=π6 ，∴e1-te2min=12，

顯然例2也是涉及向量的模的最值問題，解法一通過先轉(zhuǎn)化為兩點間距離的向量形式（即差向量表示），再等價于求點到直線的距離;在轉(zhuǎn)化過程中用到加上一個向量等于減去一個相反向量的知識，與課本中講解向量減法的時候減去一個向量等于加上一個相反向量的情形相反.解法二中兩邊平方后轉(zhuǎn)化為常見的“二次二次 ”的齊次結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題配方解決.解法一、二從幾何角度與代數(shù)角度來解釋向量的模，與例1一樣利用兩點間距離的最值和函數(shù)的最值知識解題，兩題形神皆有共同之處.

要解決向量的模的最值問題，要明確問題中的條件是什么，向量的模怎么表示，用幾何意義還是代數(shù)意義，模的最值與條件有什么聯(lián)系，可以用什么方法來求.明確了條件選擇了模的表示方法，學生答題就不會不知所措;理解了兩點間距離的向量形式，則提供了學生繼續(xù)用幾何方法解題的方向，當然理解了函數(shù)求最值的常用方法也提供了繼續(xù)用代數(shù)方法解題的方向.

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景.例1、2就是從這點出發(fā)，破除解題的心理畏懼，借助定義（向量模的代數(shù)意義和幾何意義），將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為相似的、熟悉的問題，可謂山重水復疑無路，柳暗花明又一村.