分段函數(shù)在分段點(diǎn)可導(dǎo)性的判別法

汪愛紅

【摘要】本文主要介紹了對滿足一定條件的分段函數(shù)，先求出函數(shù)在分段點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)，再通過導(dǎo)函數(shù)在分段點(diǎn)的左、右極限來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性的方法，并通過具體的實(shí)例說明了此方法的簡單性.

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù);連續(xù);可導(dǎo)性

在微分學(xué)中，分段函數(shù)是一類非初等函數(shù)，它在定義域的不同段上有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)，在一元函數(shù)微分學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會在分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性討論時(shí)出錯，尤其是在分段函數(shù)在分界點(diǎn)處不可導(dǎo)，但在分界點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)存在性的討論問題中更容易出錯.通過多年的教學(xué)，總結(jié)以下的簡單判別法，這種方法可以簡化計(jì)算過程，學(xué)生比較容易接受.

一、判別方法

1.若f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0不可導(dǎo).（連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件）但在這種情況下經(jīng)常會討論f′ -（x0），f′ +（x0）的存在性，常常出現(xiàn)下面的情況：

若f（x）在x0不連續(xù)，且f′（x）=h（x）x

g（x）x>x0，則

（1）當(dāng)f（x0-0）=f（x0），且limx→xx-0h（x）存在，則f′ -（x0）存在，f′ +（x0）不存在;

（2）當(dāng)f（x0+0）=f（x0），且limx→x0+g（x）存在，則f′ +（x0）存在，f′ -（x0）不存在;

（3）當(dāng)f（x）在既非左連續(xù)又非右連續(xù)，則f′ +（x0）與f′ -（x0）都不存在.

2.若f（x）在x0連續(xù)，且f′（x）=h（x）x

g（x）x>x0，

（1）當(dāng)limx→x-0h（x），limx→x0+g（x）都存在，

a.limx→xx-0h（x）=limx→x0+g（x），則f（x）在x0可導(dǎo)，且f′（x）=limx→xx-0h（x）.

b.limx→xx-0h（x）≠limx→x0+g（x），則f（x）在x0不可導(dǎo)

（2）當(dāng)limx→xx-0h（x），limx→x0+g（x）中至少有一個不存在，用導(dǎo)數(shù)定義來判斷.

二、應(yīng)用舉例

例1 設(shè)f（x）=12x2 x≤1

xx>1，則f（x）在點(diǎn)x=1處（ ）.

A.左，右導(dǎo)數(shù)都存在

B.左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在

C.左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在

D.左，右導(dǎo)數(shù)都不存在

解 顯然f（x）在x=1處左連續(xù)，且limx→1-f′（x）=12，故f′ -（1）=0，而f′ +（1）不存在，應(yīng)選B.

例2 設(shè)f（x）=1+x2 x<1

2xx≥1，求f′（1）.

解 顯然函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2，f′（1+0）=limx→0+f′（x）=2x=2=f′（1-0），則f（x）在x0可導(dǎo)，且f′（1）=2.

例3 設(shè)f（x）=1+x2x<1

3x-1x≥1，求f′（1）.

解 顯然函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，

f′（1-0）=limx→0-f′（x）=limx→0-2x=2，

f′（1+0）=limx→0+f′（x）=3≠f′（1-0），則f′（1）不存在，即f（x）在x0不可導(dǎo).

例4 設(shè)f（x）=sin2x x≤0

x+x2cos1xx>0，求f′（0）.

解 顯然函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，且limx→0-f′（x）=limx→0-2cos2x=1，limx→0+f′（x）=limx→0+（1+2xcos1x+sin1x），故limx→0+f′（x）不存在，

則f′（0+0）=limx→0+x+x2cos1xx=1，

又f′（0-0）=limx→0-f′（x）=1=f′（0+0），

則f′（0）存在，且f′（0）=1.

注：應(yīng)用以上方法討論分段函數(shù)的可導(dǎo)性時(shí)，一定要判別函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，否則容易出錯.

【參考文獻(xiàn)】

（1）趙華文.可導(dǎo)性判定的新定理.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)，2014，13（3）.

（2）許燕，張永明.判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的簡便方法，2012，20（6）.