分部積分法求不定積分的若干準則

趙繼紅

【摘要】通過探討分部積分法在處理幾類特殊函數的不定積分中的若干準則，為學生利用分部積分法求不定積分提供有效便捷的思路，幫助學生理解求不定積分過程中分部積分法的本質及其巨大功效.

【關鍵詞】高等數學; 不定積分;分部積分法

【中圖分類號】O13;O172.2 【文獻標識碼】A

【基金項目】 西北農林科技大學陜西省專項配套基金（Z109021118）.

不定積分求解方法的核心是換元積分法和分部積分法.相比較換元積分法而言，分部積分法是由兩個函數乘積的微分運算法則推得的一種求積分的基本方法，主要解決被積函數是兩類不同函數乘積的不定積分.具體地說，將兩個函數乘積的微分公式d（uv）=udv+vdu改寫成udv=d（uv）-vdu，則兩邊積分可得

∫udv=uv-∫vdu

（*）

這就是求不定積分的分部積分公式[1，2].上述公式表明：對于一個形如∫udv的不定積分，如果它本身不好計算，但是∫vdu卻容易計算，則通過公式（*），不易求解的積分∫udv的計算就可以轉化為較易求解的積分∫vdu的計算.

有關討論分部積分法求不定積分教學研究和解題方法的文章已經有很多，讀者可以參考文獻[3，4，5].由分部積分公式（*）可知，利用分部積分法求不定積分時我們主要考慮以下兩點：

（1）u和dv的選取是關鍵;如果u和dv的選取不當，就可能使得求解變得更困難，從而求不出結果;

（2）∫vdu要比∫udv易求解.

依據上面兩點，我們提出利用分部積分法處理下面五類兩個函數乘積的不定積分時選u的若干準則，供同學們學習參考.假設P（x）和Q（u，v）是任意多項式函數，并設a，b為任意實數，k，n為任意正整數.

一、 ∫P（x）sin（ax）dx或∫P（x）cos（ax）dx，即多項式函數和三角函數乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準則為“三多選多”.

例1 求∫x2cos（ax）dx

解 根據“三多選多”的準則，我們選u=x2，從而dv=cos（ax）dx=1ad（sin（ax）），利用分部積分公式（*）可得，∫x2cos（ax）dx=1a∫x2d（sin（ax））=1ax2sin（ax）-∫sin（ax）d（x2）=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx.

注意到上式最后一項中∫xsin（ax）dx仍然是多項式函數和三角函數乘積的不定積分，所以仍然適用“三多選多”的準則，從而∫x2cos（ax）dx=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx=1ax2sin（ax）+2a∫xd（cos（ax））=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-∫cos（ax）dx=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-2a2sin（ax）+C.

注：上題中我們連續應用了兩次分部積分法.一般來說，對于形如∫xkcosaxdx或者∫xksinaxdx的不定積分，可以依據“三多選多”的準則應用多次分部積分法進行求解.

二、 ∫P（x）eaxdx，即多項式函數和指數函數乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準則為“指多選多”.

例2 求∫x2eaxdx

解 根據“指多選多”的準則，我們選u=x2，從而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部積分公式（*）得，∫x2eaxdx=1a∫x2d（eax）=1ax2eax-∫eaxd（x2）=1ax2eax-2∫xeaxdx.

注意到上式最后一項中∫xeaxdx仍然是多項式函數和指數函數乘積的不定積分，所以仍然適用“指多選多”的準則，從而∫x2eaxdx=1ax2eax-2∫xeaxdx=1ax2eax-2a∫xd（eax）=1ax2eax-2axeax+2a∫eaxdx=1ax2eax-2axeax+2a2eax+C.

注：一般來說，對于形如∫xkeaxdx的不定積分，可以依據“指多選多”的準則應用多次分部積分法進行求解.

三、 ∫P（x）lnnxdx，即多項式函數和對數函數乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準則為“多對選對”.

例3 求∫xkln2xdx

解 根據“多對選對”的準則，我們選u=ln2x，從而dv=xkdx=1k+1d（xk+1），利用分部積分公式（*）得，∫xkln2xdx=1k+1∫ln2xd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-∫xk+1d（ln2x）=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx.

注意到上式最后一項中∫xklnxdx仍然是多項式函數和對數函數乘積的不定積分，所以仍然適用于“多對選對”的準則，從而∫xkln2xdx=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1∫lnxd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2k+1∫xkdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2（k+1）2xk+1+C.

注：一般來說，對于形如∫xklnnxdx的不定積分，可以依據“多對選對”的準則應用多次分部積分法進行求解.

四、 ∫P（x）arcsinxdx，∫P（x）arccosxdx或∫P（x）arctanxdx，即多項式函數和反三角函數乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準則為“多反選反”.

例4 求∫xarctanxdx

解 根據“多反選反”的準則，我們選u=arctanx，從而dv=xdx=12d（x2），利用分部積分公式（*）得，∫xarctanxdx=12∫arctanxd（x2）=12x2arctanx-∫x2d（arctanx）=12x2arctanx-∫x21+x2dx=12x2arctanx-∫1-11+x2dx=12x2arctanx-x+arctanx+C.

注：一般來說，對于形如∫xkarcsinxdx，∫xkarccosxdx或∫xkarctanxdx的不定積分，可以應用分部積分法結合第一類換元積分法進行求解.

五、 ∫Q（sinbx，cosbx）eaxdx，即由正余弦構成的多項式函數和指數函數乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準則為“指弦任選”.

例5 求∫eaxcos（bx）dx

解 根據“指弦任選”的原則，我們既可以選取u=eax，也可以選取u=cos（bx）.

法一、選取u=eax，從而dv=cos（bx）dx=1bd（sin（bx）），利用分部積分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1b∫eaxd（sin（bx））=1beaxsin（bx）-∫sin（bx）d（eax）=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx.

注意到上式右端仍然是指數函數和正弦函數乘積的不定積分，所以我們需要再次使用分部積分法，但此時應注意選取u的準則一定要和第一步一致，即第一步中我們選取的u為指數函數，則第二步必須也要選取u=eax，我們有

∫eaxcos（bx）dx=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx=1beaxsin（bx）+ab∫eaxd（cos（bx））=1beaxsin（bx）+abeaxcosbx-a2b∫eaxcos（bx）dx.

最后，我們有

∫eaxcos（bx）dx=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

法二、選取u=cos（bx），從而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部積分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1a∫cos（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）-∫eaxd（cos（bx）=1aeaxcos（bx）+b∫eaxsin（bx）dx=1aeaxcos（bx）+ba∫sin（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）+baeaxsin（bx）-b2a∫eaxcos（bx）dx.

所以

∫eaxcos（bx）dx=aa2+b2eaxcos（bx）+baeaxsin（bx）+C=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

注：一般來說，對于形如∫eaxsink（bx）dx或者∫eaxcosk（bx）dx的不定積分，首先通過三角函數的倍角公式，積化和差公式將其化為形如例5的形式，再利用分部積分法進行求解.

利用分部積分法求解不定積分，上述五類準則只是具有指導性的準則，更多的時候，在具體題目中需要我們結合換元積分法和分部積分法進行求解.而掌握分部積分法求不定積分技巧的方法只有通過大量地做練習來實現.希望同學們在學習的過程中，多動腦筋，靈活主動地應用各種辦法來計算各種各樣的不定積分，而不是硬記公式，死搬硬套.也只有這樣，才能深刻理解分部積分法求解不定積分的本質和內涵，更重要的是達到開闊思維，啟迪智慧的目的.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析：上冊[M].3版.北京：高等教育出版社，2002：184-185.

[2]同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].7版.北京：高等教育出版社2014：208-212.

[3]朱孝春.一元函數不定積分中換元積分法與分部積分法的教學研究[J].數學教學研究，2011，30（11）：51-56.

[4]羅瓊.不定積分的分部積分法教學淺談[J].商丘職業技術學院學報，2012，11（5）：15-18.

[5]上宏昌.關于不定積分的分部積分法運算技巧[J].廊坊師范學院學報，2014，14（4）：19-22.