一道不等式題解法的再探究

朱允洲

【摘要】含參的一元二次不等式問題是高考中?？嫉膯栴}，也是困擾學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn).數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常用的思想方法.本文通過分離參數(shù)，降冪的方式先對(duì)原不等式變形，再借助于函數(shù)或方程圖像對(duì)原不等式問題求解.

【關(guān)鍵詞】不等式;分離參數(shù);降冪;函數(shù)圖像

文[1]中作者給出了如下不等式的求解過程：

題目 已知關(guān)于x的不等式（2x-1）2

作者用代數(shù)的方法和數(shù)形結(jié)合兩種方法對(duì)該問題進(jìn)行了求解.眾所周知，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的思想方法，是解題過程中最常用的基本方法之一，也是高考必考的思想方法.本文從不同于[1]的角度將原不等式等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)（方程）圖像之間的關(guān)系進(jìn)行求解.

x （-∞，0） 0，1 2 1 2 1 2，+∞

f′（x） f′（x）>0 f′（x）<0 f′（x）=0 f′（x）>0

f（x） 增函數(shù) 減函數(shù) 極小值0 增函數(shù)

由不等式（2x-1）20，x≠0.

解法1 分離參數(shù)得：a>1x-22 ①，

設(shè)f（x）=1x-22，則f′（x）=2（2x-1）x3，據(jù)此畫出函數(shù)f（x）=1x-22的圖像（如圖1），不等式 ①可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=f（x）與常函數(shù)y=a相交且位于其下方的圖像對(duì)應(yīng)的x有三個(gè)整數(shù)解，因?yàn)閒（3）=259，f（4）=4916，據(jù)圖像可知：只需f（3）

N個(gè)整數(shù)解及無數(shù)個(gè)整數(shù)解時(shí)a的取值情況.

解法2 不等式（2x-1）2x-12x ②，記k（x）=1-12x，

其圖像（如圖2），當(dāng)x<0時(shí)，k（x）∈（1，+∞），如果a2>1，則據(jù)圖像知②

有無窮多個(gè)解，不合題意;當(dāng)012時(shí)，k（x）∈（0，1），由圖像可知：不等式②有三個(gè)整數(shù)解它們只 能是1，2，3，又k（3）=56，k（4）=78，所以a2∈（56，78]，即259

解法3 不等式 （2x-1）2

x-12 ? ? 畫出它們的圖像（如圖3），y=f（x）的圖像是確定的，

y=g（x）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且是變化的，要使③的解集中有3個(gè)整數(shù)解，由圖像可知：0

通過對(duì)此不等式求解的研究，啟示我們?nèi)粘＝虒W(xué)中要多重視和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，尤其是選擇題和填空題，可以提高解題的效率.以上解法對(duì)原不等式進(jìn)行了分離參數(shù)、降冪等一系列等價(jià)變形，畫出相應(yīng)函數(shù)的圖像，實(shí)現(xiàn)了以形助數(shù)的效果，降低了問題的難度.借助于數(shù)學(xué)問題的幾何直觀，有助于對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，提高學(xué)生對(duì)問題求解的正確率;同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題探究的興趣，發(fā)展他們的思維提升其解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1].高進(jìn)，楊國(guó)祥.一道不等式題的解答歷程.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012年第3期（上旬）29-30.