空間曲線的切線計算方法

張輝 李應(yīng)岐 敬斌 趙偉舟 陳春梅

【摘要】研究計算空間曲線的切線方程的四種方法，給出求解思路，旨在使學(xué)生有更深的理解和掌握.

【關(guān)鍵詞】空間曲線;切線;切向量;法向量

【中圖分類號】O13

【基金項目】陜西省教育廳科研計劃項目資助（2013JK1098）

空間曲線的切線是高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用的重要內(nèi)容.教材[1]主要研究了計算空間曲線的切線方程的三種情形：參數(shù)方程、可化為參數(shù)方程和一般方程.為使學(xué)生能夠深刻理解，下面將再研究計算空間曲線的切線方程的四種方法，給出求解思路，望初學(xué)者靈活使用.

為方便起見，我們假設(shè)空間曲線的切線和空間曲面的切平面均存在.

設(shè)空間曲線Γ為空間曲面∑1：F（x，y，z）=0和∑2：G（x，y，z）=0的交線，其一般方程為F（x，y，z）=0，

G（x，y，z）=0，M（x0，y0，z0）是曲線Γ上的一個點.

1.切線為兩個切平面的交線

由切平面的性質(zhì)，曲線Γ在點M處的切線既在曲面∑1在點M處的切平面上，也在曲面∑2在點M處的切平面上.曲面∑1在點M處的一個法向量取為n1=（Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），

Fz（x0，y0，z0）），簡記為n1=（Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z）.同理，曲面∑2在點M處的一個法向量取為n2=（Gx，Gy，Gz），則曲面∑1和∑2在點M處切平面方程分別為（x-x0）Fx+（y-y0）Fy+ （z-z0）Fz=0和（x-x0）Gx+（y-y0）Gy+（z-z0）Gz=0.故曲線Γ在點M處的切線方程為（x-x0）Fx+（y-y0）Fy+（z-z0）Fz=0，

（x-x0）Gx+（y-y0）Gy+（z-z0）Gz=0.

2.切向量取為兩個法向量的向量積

由情形1，曲線Γ在點M處的切向量T既與n1垂直，也與n2垂直，從而可取T=n1×n2=ijk

FxFyFz

GxGyGz=（FyGz-FzGy，F(xiàn)zGx-FxGz，F(xiàn)xGy-FyGx）.由直線的對稱式方程，故曲線Γ在點M處的切線方程為x-x0FyGz-FzGy=y-y0FzGx-FxGz=z-z0FxGy-FyGx.

引理 Γ1：Ax+By+Cz+D=0，

y=y0和

Γ2：Ax+By0+Cz+D=0，

y=y0表示同一條直線.

證明：設(shè)（x0，y0，z0）是Γ1和Γ2上一公共點，取Γ1在點（x0，y0，z0）處的切向量為T1=

ijk

ABC

010=-Ci+Ak，取Γ2在點（x0，y0，z0）處的切向量為T1=ijk

A0C

010=-Ci+Ak.又T1=T2，故Γ1和Γ2表示同一條直線.

特別地，對于一類特殊的空間曲線Γ1：z=f（x，y），

y=y0，其中f（x，y）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，P（x0，y0，f（x0，y0））是Γ1上的一點.令Γ1的參數(shù)方程為x=x，

y=y0，

z=f（x，y0），則Γ1在點P處的切向量取為T1=1，0，df（x，y0）dxx=x0.又df（x，y0）dxx=x0=fx（x0，y0），則T1=（1，0，fx（x0，y0））.因此，Γ1在點P處的切線方程為x-x01=y-y00=z-f（x0，y0）fx（x0，y0），其一般方程為fx（x0，y0）（x-x0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0.由上可見，偏導(dǎo)數(shù)fx（x0，y0）表示曲線z=f（x，y），

y=y0在點（x0，y0，f（x0，y0））處的切線相對應(yīng)于x軸的斜率.同理，偏導(dǎo)數(shù)fy（x0，y0）表示曲線z=f（x，y），

x=x0在點（x0，y0，f（x0，y0））處的切線相對應(yīng)于y軸的斜率.

注意到，Γ1在點P處的切線可以看成曲面z=f（x，y）在點P處的切平面與平面y=y0的交線.取曲面z=f（x，y）在點P處的法向量為（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1），則曲面z=f（x，y）在點P處切平面方程為fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0）-（z-f（x0，y0））=0.即Γ1在點P處的切線的一般方程為

fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0再由引理，此切線的一般方程也可表示為

fx（x0，y0）（x-x0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：94-96.