數(shù)學(xué)建模思想融入高數(shù)課堂的實(shí)踐案例研究及分析

王菡

【摘要】在高數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用可以大大提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力，本文從數(shù)學(xué)建模的意義入手，說(shuō)明數(shù)學(xué)建模對(duì)高數(shù)的重要性，并對(duì)實(shí)踐案例進(jìn)行分析，充分展示數(shù)學(xué)建模思想的強(qiáng)大作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模思想性;高數(shù)課堂;實(shí)踐案例研究

數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、語(yǔ)言理解能力、空間想象能力有很高的要求.數(shù)學(xué)建模思想講求在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，引入數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化和抽象，建立數(shù)學(xué)模型并求解.這種解題方式是對(duì)數(shù)學(xué)的一種實(shí)際應(yīng)用，也是對(duì)學(xué)生思維能力的提高，所以在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想對(duì)提高學(xué)生的綜合素質(zhì)有關(guān)鍵作用.

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想融入的意義

數(shù)學(xué)建模其實(shí)屬于一種應(yīng)用數(shù)學(xué)，其主要目的是要求我們通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析并簡(jiǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)建模思想最早提出于1992年，雖然當(dāng)時(shí)這種新穎的邏輯思維能力受到了很多學(xué)校的重視，并在組織的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中選取優(yōu)秀的學(xué)生參加，但這種新的數(shù)學(xué)解題模式并沒(méi)有得到大面積的普及，很多學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)任務(wù)繁重根本沒(méi)有時(shí)間了解數(shù)學(xué)建模思想.進(jìn)入大學(xué)的學(xué)習(xí)后，基本上所有的學(xué)生都要學(xué)習(xí)高數(shù)，高數(shù)是一門(mén)極為抽象的科目，很多學(xué)生根本不知道學(xué)習(xí)的意義，從而對(duì)高數(shù)喪失學(xué)習(xí)的動(dòng)力.若將高數(shù)與數(shù)學(xué)建模思想融合起來(lái)，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能鼓勵(lì)學(xué)生多運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，不但可以讓學(xué)生更加透徹的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的知識(shí)，還能對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)進(jìn)行提升.建模過(guò)程重要反復(fù)推敲、計(jì)算.最終找出模型的最優(yōu)解.數(shù)學(xué)建模其實(shí)沒(méi)有統(tǒng)一的答案，講求的是方法的運(yùn)用，針對(duì)同一問(wèn)題，學(xué)生可以從不同的角度分析，創(chuàng)建不同的數(shù)學(xué)模型，選用不同的方法解決問(wèn)題，選出最優(yōu)的解決方案.在將數(shù)學(xué)問(wèn)題準(zhǔn)確的抽象為數(shù)學(xué)模型時(shí)，要求學(xué)生具有敏銳的洞察能力，在合作解決問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作合作能力，整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生們一起探討、分享數(shù)學(xué)知識(shí)，開(kāi)闊了彼此的數(shù)學(xué)思維能力，所以數(shù)學(xué)建模思想對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升和思維能力的培養(yǎng)有較大裨益，是一種值得推行的數(shù)學(xué)思維方式.

二、實(shí)際案例分析

提到微積分相信大家都耳熟能詳，但很多人卻因不了解用途而覺(jué)得枯燥不堪.其實(shí)微積分在生活中運(yùn)用廣泛，該實(shí)例就是運(yùn)用微積分中的定積分解決問(wèn)題.

題目：除雪機(jī)在清理路面上的積雪時(shí)，設(shè)定當(dāng)路面積雪達(dá)到0.5 m時(shí)開(kāi)始工作，但由于在清理積雪的同時(shí)天空正在下雪，下雪的大小直接影響除雪機(jī)的工作效率，對(duì)于一條10公里的公路，除雪機(jī)能否完成除雪任務(wù)，當(dāng)雪下多大時(shí)除雪機(jī)將不能工作？

相關(guān)條件：

1.降雪持續(xù)1個(gè)小時(shí).

2.降雪的大小隨著時(shí)間的變化而變化，當(dāng)雪下到最大時(shí)，積雪以0.1 cm/s的速度增長(zhǎng).

3.當(dāng)積雪厚度達(dá)到1.5 m時(shí)，除雪機(jī)將停止工作.

4.除雪機(jī)在無(wú)雪的路面行駛速度為10 m/s.

分析問(wèn)題：

通過(guò)題目和條件所含的信息，影響除雪機(jī)除雪的因素主要包括：降雪的速度、降雪的時(shí)間、積雪的厚度、除雪機(jī)工作時(shí)間等.

模擬解題環(huán)境：

1.降雪的速度維持不變

2.除雪機(jī)的工作速度和積雪的厚度成正比

3.降雪的速度為R（cm/s），積雪厚度為d（m），除雪機(jī)工作速度為v（m/s）

創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型：

假設(shè)降雪速度維持不變，積雪在時(shí)間t內(nèi)的厚度增加量Δd為 Δd=1100Rt.

由此解得t秒內(nèi)的積雪厚度為 d（t）=0.5+Rt100.

（1）

（2）通過(guò)對(duì)問(wèn)題的假設(shè)，當(dāng)d=0，時(shí)，v=10;d=1.5時(shí)，v=0，可以建立關(guān)系式v（t）=101-23d（t），當(dāng)0.5≤d（t）≤1.5時(shí)，將（1）帶入公式得到t秒時(shí)除雪機(jī)的工作速度為 v（t）1032-Rt30.

（2）

通過(guò)以上的公式推斷出除雪機(jī)工作被迫停止時(shí)間v（t）=0，

t0=100R.

（3）

除雪機(jī)在工作t時(shí)的行駛距離：

S（t）=∫t0vudu=103∫t02-Ru50du=203t-R30t2.

（4）

假設(shè)情況1：大雪的降雪速度以0.1 cm/s持續(xù)1小時(shí)，那么積雪的新增厚度為0.1×3600100=3.6（m），再加上原來(lái)的積雪厚度0.5 m，總厚度已經(jīng)超過(guò)1.5 m，所以只能考慮積雪厚度在0.5 m～1.5 m之間的工作時(shí)間和除雪距離.通過(guò)（3）可以算出t0=100R=1000.1=1000（s）≈16.67，所以除雪機(jī)只能工作16.67分就會(huì)被迫停止工作，期間的行駛距離由（4）算出

St0=S1000=20×10003-0.1×1000302≈3.3（km）.

假設(shè)情況2：大雪的降雪速度以0.025 cm/s持續(xù)1小時(shí)，降雪的速度變化如右圖所示：

在該種情況下，積雪的新增厚度為0.9 m，再加上原來(lái)的0.5 m，總厚度不超過(guò)1.5 m，除雪機(jī)可以正常工作，除雪機(jī)清除10公里的道路所需時(shí)間，將S=10×1000 m帶入式子（4），算出10000=203t-0.02530t2，t=2000（s）≈33.33（min），所以只需要33.33分鐘，除雪機(jī)就可以完成10公里路面的積雪清理工作.

初次建模，考慮問(wèn)題比較粗糙，現(xiàn)對(duì)所建模型進(jìn)行優(yōu)化.首先降雪速度不可能一直維持不變，為了讓模型與事實(shí)更加貼合，可以設(shè)置下雪速度在前半個(gè)小時(shí)均勻增大到最大值0.1 cm/s，在后半個(gè)小時(shí)逐漸減小到0.則在t時(shí)刻降雪的速度r（t）為： r（t）=0.1 t1800 0≤t≤1800

a-0.11800≤1≤3600

運(yùn)用t=1800處r（t）的連續(xù)性，可算出參數(shù)a的值為0.2.

積雪厚度函數(shù)：

當(dāng)0≤t≤1800時(shí)d（t）=0.5+1100∫t00.1u1800du=0.5+0.0013600t2.

（6）

計(jì)算得到d（1800）=0.50.001×（1800）36002=0.5+0.9=1.4（m），表示除雪機(jī)工作半個(gè)小時(shí)，積雪厚度為1.4 m.當(dāng)1800≤t≤3600. ?d（t）=1.4+1100∫t18000.2-0.1t1800du=0.010.2t-0.43600t2-1.3.

（7）

計(jì)算得到d3600=0.010.2×3600-0.1×（3600）23600-1.3=2.3 m，表示除雪機(jī)停止工作時(shí)，雪還在下，工作時(shí)間可由（7），d（t）=1.5 m，t≈35（min）.

當(dāng)然，在對(duì)模型的完善過(guò)程中，講求層層深入，逐步細(xì)化，最終建立與實(shí)際問(wèn)題最貼近的數(shù)學(xué)模型，使解出的答案更加貼近，這就是數(shù)學(xué)建模思想在高數(shù)中的應(yīng)用實(shí)例.

三、總 結(jié)

總而言之，數(shù)學(xué)建模思想就是用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn).在模型的建立過(guò)程中，不但可以重新點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，還可以訓(xùn)練邏輯思維能力，將高數(shù)與數(shù)學(xué)建模思想完美的融合，解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種問(wèn)題，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，提高高數(shù)的教學(xué)質(zhì)量.

【參考文獻(xiàn)】

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