數學猜想及其在數學教育中的作用

黃名川

【摘要】數學猜想作為一種高級的創造性思維方法對培養學生的創造性思維和創新品質有著重要的作用，是發展學生思維品質的一個良好契機，應該讓猜想教學在數學課堂中成為一種常態.

【關鍵詞】數學猜想;定義;分類;課堂教學

匈牙利偉大的數學教育家G·波利亞曾指出：“在數學學習過程中只要能反應出數學的發現過程，那么就應該讓合情的推理占有適當的地位.”這里的合情推理就是指數學猜想.數學猜想是根據已知的數學素材，經過理性思維的能動性對當前問題進行的一種合情推理.我國《義務教育數學課程標準》（2011年版）中強調指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中.推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.”作為一種創造性的思維方式，應該走進數學課堂教學，成為培養學生創新思維品質的一個契機.

一、歷史上的數學猜想

法國著名數學家費爾馬于1664 年，提出了著名的“費爾馬猜想”： 當n>2時， 關于x，y，z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ沒有正整數解.該猜想歷經300多年最終由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）得以證明，為了表彰其卓越成就，在1998年的國際數學家大會上為他頒發了特別制作的菲爾茲銀質獎章.1742 年，德國數學家哥德巴赫在給當時大名鼎鼎的數學家歐拉的信中提出了一個猜想：對于任一大于2的偶數均可以表示成兩個素數之和.由于這個猜想表述形式簡潔，看起來似乎沒有涉及深邃的數學理論，數百年來，上到數學專家學者，下及學生，甚至與數學無關的其他行業者都躍躍欲試想摘得這個被數學家譽為“數學王冠上的明珠”的數學猜想.我國著名數學家陳景潤對此猜想做出了卓越貢獻，證明了“1+2”問題，距完全證明該猜想僅剩一步之遙，但至今仍未能徹底解決.此外數學史上還有“四色猜想”、“孿生素數猜想”、“伯特蘭猜想”等著名的數學猜想.

二、猜想的分類

根據猜想的實現途徑，本文將猜想大致分為4類.

1.觀察猜想

觀察猜想就是我們通過觀察已知數學材料的結構和形式，作出我們猜想的結論，這個過程需要我們認真洞察已知材料的規律和其內在結構，這樣作出的推斷才具有更高的正確率.

2.歸納猜想

歸納猜想就是通過觀察獲得了一定的思維材料后，從個別或特殊的經驗事實出發推出一般性原理、法則的推理形式、思維進程和思維方法的一種猜想方法.在研究某些整體數學問題較困難，但在特殊情況容易解決時，我們就可以從特殊的情況入手，歸納得出其一般性的結論，然后再論證推廣到所有符合條件的情況.

3.類比猜想

類比猜想是根據兩個或兩類事物在某些屬性或結構上的相同或相似，而推出它們在其他屬性或結構上也相同或形似的一種猜想方法.它是由特殊到特殊的推理猜想，類比猜想的形式也有很多，如數與式之間，數與形之間，數與向量之間，平面和空間之間等等，都可能形成類比猜想.

4.聯想猜想

聯想猜想是一種自覺的有目的思維活動，是由當前感知或思考的事物，想起有關的另一種事物，或由此再想象其他事物的一種猜想方式，猜想聯想是以觀察為基礎，根據所研究的對象或問題的特點，聯系已有的知識、機能、經驗進行想象的思維方法，它是一種再現性現象.

三、數學猜想：數學思維活動的關鍵一步

我們知道數學猜想是由已知的數學材料和數學知識，對未知量進行觀察、比較、分析、類比、歸納、后所做出的一種似真判斷.現代心理學認知結構理論認為： 數學學習活動是學習主體主動的有意義的建構活動， 是認知主體在大腦里構建數學概念模型的過程.數學思維活動中如果沒有了猜想，已知數學材料就不可能形成有意義的構建活動.因此， 猜想是主體有意義構建時思維活動的關鍵一步.

四、讓數學猜想活動成為數學課堂教學常態

在我國新一輪的課程改革中，對培養和提高學生的創新能力和創新意識提出了明確要求.數學猜想作為一種創造性思維方法，它不專屬于數學家，若平時能有意識地加強數學猜想的教學活動，則能使創新能力和創新意識的培養真正落到實處.那么在課堂教學中如何有效的實施猜想教學呢？首先，猜想是一種高級的思維方式，那作為學生的引導者的教師則要具備一定的猜想能力，必須懂數學猜想，知道猜想的規律，才能更好的引導學生猜想.第二，在平時教學中讓學生養成數學猜想的思維習慣，如注重知識的發生和發展，理解問題內部的本質聯系，利用對稱、統一、奇異的數學特征去引導學生欣賞數學美和發現數學問題.這樣可使學生的猜想思維活動由不自覺或盲目的狀態，發展為有意識有目的的創造活動.第三，努力營造寬松愉快的猜想氛圍.老師不必去限制學生思維的疆域，鼓勵學生多積極主動思考，不滿足現成解答，大膽猜想 ，不斷開拓.猜想合理的給予積極鼓勵，猜想偏向的給予細心引導，使學生的被動的猜想行為轉變成自覺的猜想行為，共同構建師生猜想共同體.切實讓培養學生的創造性思維和創新意識落到教學實處.

【參考文獻】

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