淺談高中數學歸納法的應用

卓為杰

【摘要】數學歸納法是數學上證明與正整數有關的命題，實際上就是關于正整數的無窮性命題。對數學歸納法的原理的理解是掌握種證明方法的關鍵，要熟練的掌握與應用數學歸納法，必須準確的理解其意義及掌握解題步驟，在解題步驟中運用歸納假設尤為重要，運用歸納假設推出結論最為關鍵。在高中數學上數學歸納法是一種直接的證明方法，應用十分廣泛，一般來說，與正整數有關的一些恒等式、不等式、整除性、數列的通項及前 項和等問題。

【關鍵詞】數學歸納法 歸納 應用

引言：在數學問題中，有一類問題是與自然數 有關的命題。當 表示一個命題，當 又表示一個命題，如此循環，無窮無盡，因此，一個與自然數 有關的命題實際上包含了無窮個命題。自然數有無限多個，不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的。但就部分自然數進行驗證即用不完全歸納法得到的結論，又是不可靠的，為了證明這一類與自然數 有關的命題，一種切實可行又滿足邏輯嚴謹性的證明方法出現了，它就是——數學歸納法。本文就高中數學第一歸納法的解題技巧與應用，舉一些典型案例。

1.數學歸納法的概念

數學歸納法是數學上證明與自然數 有關的命題的一種特殊方法，主要研究與正整數 有關的數學問題。

2.數學歸納法的解題步驟

證明與正整數 有關的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當 取第一個值 時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設 時命題成立，證明當 時命題也成立。

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對于從 開始的所有正整數 都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。

運用數學歸納法進行證明時，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可。其中第一步是命題遞推的基礎，第二步是命題遞推的根據。有第一步沒有第二步，屬于不完全歸納法，有第二步沒有第一步，則第二步的假設就失去了基礎。只有兩個步驟都完成了，才能斷定命題對于從 開始的所有正整數 都成立。證明命題時的難點和關鍵都在第二步，主要在于如何合理運用歸納假設，即以“ 命題成立”為條件，結合其他數學知識，證明“當 時命題成立”。

3.數學歸納法的應用

3.1數學歸納法證明恒等式

例1、用數學歸納法證明 。

證明：（1）當 時，左邊 ，右邊 ，等式成立。

（2）假設 時，等式成立，即

。

當 時，

所以 時，等式也成立。

綜上（1），（2）可知，等式對任意的 都成立。

點評：用數學歸納法證明恒等式：（1）第一步是驗證 取第一個值時等式是否成立，是奠基。第二步在假設 時，一定要寫出對應的表達式，證明 時，一定要用到歸納假設。（2）第二步證明的關鍵要看左右兩邊的項和證明的目標，合理利用“一‘湊假設，二‘湊結論”的證明技巧。

3.2用數學歸納法證明整除問題

例2、用數學歸納法證明： 對任意的 都能被17整除。

證明：（1）當 時， ，能被17整除，所以命題成立。

（2）假設 時， 能被17整除。

當 時，

=

所以 時，命題也成立。

綜上（1），（2）可知， 對任意的 都能被17整除。

3.3用數學歸納法證明幾何問題

例3、證明凸 邊形的對角線條數為 。

證明：1）當 時， ，四邊形有兩條對角線，命題成立。

（2）假設 時，命題成立，即凸 邊形的對角線條數為 。當 時，凸 邊形是在凸 邊形的基礎上增加了一條邊，增加了一個頂點，這個頂點與它不相鄰的 頂點構成 條對角線，再加與它相鄰的兩個頂點構成的一條對角線，所以凸 邊形的對角線條數為

，

所以 時，命題也成立。

綜上（1），（2）可知， 對任意的 命題成立。

3.4用數學歸納法證明不等式

例4、證明貝努利不等式：（人教版選修4-5，不等式選講第51頁）

如果 為大于1的自然數，那么有 。（證明略）

例5、用數學歸納法證明：對任意的 ，不等式 都成立。

證明：（1）當 時， ，命題成立。

（2）假設 時命題成，即 。

當 時，

。

所以 時，命題也成立。

綜上（1），（2）可知，對任意的 ， 成立。

點評：用數學歸納法證明不等式時，對 時是整個證明的難點和關鍵，證明時要分離出該命題中可以使用歸納假設的部分。放縮法作為不等式證明的特有技巧，在用數學歸納法證明不等式時，常被使用。

3.5用數學歸納法解決數列問題

例6、（2012.北京海淀模擬）數列 滿足 。

1） 計算 的值，并由此猜想通項公式 ；

2）用數學歸納法證明（1）中的猜想。

解： （1） ， 。

（2）用數學歸納法證明猜想。

證明：1）當 時， ，結論成立。

2）假設 ，結論成立，即 。

當 時，

所以 ，即

，

即 時，結論也成立。

由1），2）知猜想 成立。

點評：先計算出數列的前幾項，用不完全歸納法得到通項公式的猜想，再用數學歸納法給出證明，這是解決數列問題的一般思路，即“觀察——歸納猜想——證明”。“先猜后證”解與正整數有關的問題時，有時候如果最初的兩三個初始時不能發現規律，要多舉幾項顯示其規律，要敢于猜想、善于猜想，做出科學的猜想和判斷。

數學歸納法是專門證明與正整數有關的的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，證明分兩步，第一步是命題成立的基礎，稱為“歸納奠基”，第二步解決的是延續性問題，稱為“歸納遞推”，兩個步驟缺一不可。運用數學歸納法可以證明許多數學問題，既可以開闊眼界，又可以受到推理訓練，數學歸納法的出現，使人們的認識“從有限到無限的飛躍”（華羅庚語）。當然，并不是所有與正整數有關的命題都可以用數學歸納法來證明，應該具體問題具體分析。

【參考文獻】

[1]劉紹學，普通高中教科書數學選修4-5不等式選講，北京，人民教育出版社，2012.4

[2]朱麗，尖子生學案-高中數學2-2，長春，吉林人民出版社，2009.4

[3]薛金星，中學教材全解-高中數學4-5，西安，陜西人民教育出版社，2010.3

[4]數學歸納法及應用，百度文庫，2013.7（引用）

[5]數學歸納法經典例題，百度文科，2013.7（引用）