初等函數的定義與構造

林炎海

【摘要】國內高等數學或相關教材對初等函數的定義不夠嚴密.目前的定義難以界定分段函數是不是初等函數？文中構造一些奇特的函數，對例題進行思考，發現一些結論.進一步地，本文對符號函數進行討論，建議將符號函數納入基本初等函數范疇，重新理解初等函數.文中用到構造函數解析式，供廣大師生與數學興趣者參考.

【關鍵詞】初等函數；函數構造；符號函數；高等數學；大學數學.

國內高校所用高等數學教材[1]，以及大學數學或經濟數學教材[2-3]，給出的初等函數定義不夠嚴密.一般地，冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數統稱為基本初等函數；由常數和基本初等函數經過有限次四則運算及有限次的函數復合步驟所構成并可用一個數學式子表示的函數，稱為初等函數.根據定義，我們構造一些函數并討論之.