關于Gamma函數延拓的探究

張健

摘 要：通過給出Gamma函數幾種定義方式，分析研究它們之間的相互關系，并把余元公式推廣到一般形式，對構造的公式①，在復數域將其被積函數分解得2n個復根.在實數域將其實虛部積分取極限獲證.對構造的公式②，由①將其被積函數的連續性、收斂性及一致收斂性與構造的有理數列用變量替換代入取極限獲證.再由①與②應用Gamma-Beta函數的另一形式及（3），得到了余元公式的實現.？更多還原

關鍵詞：Gamma函數；延拓；積分；Euler；探究

中圖分類號： G420 文獻標識碼：A 文章編號1672-3791（2015）09（b）-0000-00

1 問題引入

Gamma函數是數學中最重要的函數之一，在工程、經濟等學科中也有重要應用.數學分析教材中引出Gamma函數延拓問題時，往往介紹的比較簡單，也沒有說明延拓的作用，不易理解，容易造成錯誤.

例如，文[1]利用積分

，得時，是錯誤的，因為此式在時發散，造成這種錯誤的原因是對Gamma函數延拓的理解有誤.

2 Gamma函數的延拓Gamma函數的定義有多種形式，各有各的方便之處，數學分析教材上一般給出如下定義

利用解析延拓可以把Gamma函數延拓到整個復平面[4].有了Gamma函數的延拓，通過也可以把延拓到整個復平面，但是在為實數時，，只適合的情況，這就是文[1]中錯誤的原因.

參考文獻

[1] 李凱，周學君.關于兩類定積分的求解方法[J].太原師范學院學報（自然科學版），2008，7（4）： 46-49.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析：下冊[M].北京：高等教育出版社，2010：203—207.

[3] 菲赫金哥爾茨.微積分學教程：第二卷第三分冊[M].北京：人民教育出版社，1954：677-678，703.

[4] 王竹溪，郭敦仁.特殊函數概論[M].北京：北京大學出版社，2000： 97-100.