利用圖像直觀巧記三角函數誘導公式

陳肖穎

【摘要】“奇變偶不變，符號看象限”是學習三角函數誘導公式的傳統記憶方法，筆者利用圖像的直觀特點，幫助學生快速、準確記憶三角函數誘導公式，并能更好地理解和掌握推導過程中隱含的數學思想方法.

【關鍵詞】誘導公式；三角函數圖像；數學思想

在“三角函數誘導公式”的教學中，大多數教師都會介紹“奇變偶不變，符號看象限”的記憶方法，讓學生在練題的過程中機械記憶公式，教學效果往往不盡如人意.學生最容易出現記憶混淆或“記了不知如何用”等現象.而學生在學完三角函數后，記憶最深刻的是它的圖像.因此，筆者嘗試利用函數圖像來幫助學生理解三角函數誘導公式.

一、巧用圖像直觀理解三角函數誘導公式

學生學習三角函數后，能清楚記住正弦、余弦和正切函數的圖像.人教社A版教材在這一節概括了六組公式，筆者用表格將公式整理如下：

1.公式Ⅰ：觀察函數圖像，結合奇偶性的圖像特征得出

在高一函數部分學生就已學習了函數奇偶性的有關知識，即在定義域內，奇函數f（-x）=-f（x）函數圖像關于原點成中心對稱，偶函數f（-x）=f（x）函數圖像關于y軸成軸對稱.根據此性質，學生從圖中可知，y=sinx和y=tanx的圖像關于原點成中心對稱，是奇函數，則滿足f（-x）=-f（x）；y=cosx的圖像關于y軸成軸對稱，是偶函數，則滿足f（-x）=f（x）.通過觀察圖像特征，分析函數的奇偶性，得出公式Ⅰ.

2.公式Ⅲ：利用函數的對稱性和周期性，直接觀察圖像得出

要得出公式Ⅲ，可探究當x=π-α時，y=sinx，y=cosx，y=tanx的函數值.既然是三角函數，則角與其函數值是一一對應關系.先看正弦函數圖像（圖1），觀察圖像可發現函數圖像關于x=π2對稱，則sinα=sin（π-α）；而余弦函數圖像（圖2）是關于點π2，0對稱，則cos（π-α）=-cosα.進一步探究三角函數的對稱性可知正弦、余弦函數的對稱軸與對稱中心都有無數個.這里只需探究出誘導公式，則不贅述對稱性的內容.

圖 1 圖 2

正切函數圖像與正弦、余弦函數明顯不同，正弦、余弦函數的最小正周期為2π，而正切函數的最小正周期為π.根據周期性可知tan（-α）=tan（π-α），又由公式Ⅰ知tan（-α）=-tanα，所以tan（π-α）=-tanα.從而探究出公式Ⅲ.

3.公式Ⅳ：將初中知識擴充到一般情況

在初中階段，學生已知一角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦）.那時的余角范圍僅限于0°～90°，而高中階段的角擴充了，余角范圍不僅是0°～90°了.有此基礎，利用初中的定理，便可得公式Ⅳ：sin（π2-α）=cosα，cosπ2-α=sinα.

4.公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ：整體代換即可

仔細觀察可知公式Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ與公式Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ只是符號不同，只需要將公式Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ中的α代換成-α，再利用公式Ⅰ推導即可.例如：將公式Ⅲsin（π-α）=sinα中的α代換成-α，即sinπ--α=sin-α，化簡為sin（π+α）=sin-α，再利用公式Ⅰ可得sin（π+α）=-sinα.

二、利用圖像幫助理解誘導公式的過程中滲透的數學思想方法

1.數形結合思想

華羅庚說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.利用學生已記住的圖像來推導公式是數形結合的有效應用.正如公式推導過程中，直接利用三角函數圖像的特性，學生通過觀察即可得出.學生在掌握函數奇偶性的圖像特征后，通過圖像進行誘導公式的推導，更加直觀快捷.筆者在教學過程中發現很多高中生連初中特殊角度的三角函數值沒記住，死記公式容易記混淆，特別是30°和60°的正、余弦值，學生總記不清哪個是12、哪個是32.筆者介紹一種巧妙的記憶方法，前提是學生已記住了正、余弦函數的圖像.通過觀察圖像，x從0開始向右增大，正弦函數圖像逐漸上升，余弦函數圖像逐漸下降，可知30°、45°和60°的正弦值的分子的根號下分別是1、2、3，而30°、45°和60°的余弦值的分子的根號下分別是3、2、1.有教師會覺得此法略死板，但是學生利用此法能快速記住函數值，且不會混淆，在之后解題中鞏固加深印象，自然就能靈活運用.此方法實質是利用函數的單調性，教材上函數單調性也是利用圖像觀察總結而得.運用數形結合，將煩瑣的公式推導過程轉化為有趣的圖像識別過程，化繁為簡.

2.化歸思想

在數學問題中，將未解決的問題化歸為已解決的是化歸思想中的重要方法.利用圖像來推導公式，將問題轉化為已學過的知識.例如通過觀察圖像，聯系函數的奇偶性、對稱性等性質得出誘導公式，更為典型的是直接利用之前推導出來的公式，將公式中的α代換成-α.化歸思想能將抽象含糊的問題變得直觀明朗.這樣推導公式，有效地避免死記硬背公式的弊端，鍛煉了學生的數學思維，提高解題能力.

3.從特殊到一般的思想

三角函數是函數中的特殊函數，它具備一般函數具有的性質.通過觀察圖像，分析其奇偶性等，得出公式，這是由一般函數到三角函數的推導.如將初中的知識推廣，掌握初中的定理：一個角的正弦（余弦）等于其余角的余弦（正弦），將此特殊推廣到一般，得誘導公式.

運用函數圖像來幫助理解和記憶三角函數誘導公式，不僅形象直觀，且把之前學過的知識充分利用，形成一個螺旋上升的數學知識認知結構.初中關于特殊角的正余弦值的知識、高一關于函數的有關性質的知識，這些知識剛接觸和學習的時候學生都能記住和掌握，過了一段時間就“忘記”了，需要重復溫習.通過本文的方法不僅能更容易理解誘導公式，還能進一步掌握學過的知識，一舉兩得.

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