精選巧變 夯基提能

何曉麗

摘 要：化歸與轉化思想體現了利用動態思維從未知向已知轉化的重要過程，沒有統一模式，最具靈活性與多樣性，有利于開拓思路，是解決數學問題的根本思想，在高中數學的各個模塊都有非常廣泛的應用.結合文科數學第一輪復習的教學實際，就《導數的綜合應用》一課，通過例題的選取、變式、探究等教學設計，談對高中數學化歸與轉化思想的踐行與感悟.

關鍵詞：數學思想；化歸與轉化；函數；導數；超越函數

高中數學的學習離不開解題，而解題的過程實際上就是一步步轉化的過程.數學中的轉化比比皆是，如數與形的轉化，命題之間的轉化，函數與方程的轉化，新知向舊知轉化，未知向已知轉化，高次向低次轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，空間向平面轉化，復雜向簡單轉化，超越式向代數式轉化等，幾乎每個問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的.化歸與轉化思想的實質就是揭示聯系，實現轉化，因而理所當然成為高中數學最重要的思想之一，在各個模塊都發揮著極其重要的作用.筆者結合文科數學一輪復習，通過福州市級公開課《導數的綜合應用》的例題設計與教學反思，談談自己對這一思想的踐行與感悟.

導數是近代數學的重要基礎，是聯系初等、高等數學的紐帶，隨著課改的不斷深入，考查的要求也逐漸加強，已經由分析和解決問題的輔助地位上升為不可缺少的重要工具.函數是高中數學研究導數的一個重要載體，涉及較多的知識和方法，導數在研究函數問題尤其是單調性、極值、最值 [1 ]方面具有廣泛的應用，可以解決函數中的恒成立問題、不等式問題、交點零點問題等，還可以在知識交匯處命題，訓練和考查學生的思維能力.

【案例1】已知函數f（x）=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c-16，

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值.[2]

分析：（1）因為f（x）=ax3+bx+c，故f ′（x）=3ax2+b，

由于f（x）在點x=2處取得極值c-16，故有f（2）=c-16且f ′（2）=0，

即12a+b=0，8a+2b+c=c-16，化簡得12a+b=0，4a+b=-8，解得a=1，b=-12，

（2）由（1）知f（x）=x3-12x+c，

f ′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2） ，令f ′（x）=0，得x1=-2，x2=2，

當x∈（-∞，-2）時， f ′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數；

當x∈（-2，2）時， f ′（x）<0，故f（x）在（-2，2）上為減函數；

當x∈（2，+∞）時，f ′（x）>0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數，

則f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=16+c，在x=2處取得極小值f（2）=c-16，

由題設條件知16+c=28，解得c=12，

此時f（-3）=9+c=21， f（2）=-16+c=-4，

因此f（x）在[-3，3]上的最小值為f（2）=-4.

在案例1的基礎上，筆者精心設計如下探究問題供學生思考交流：

【探究1】恒成立、能成立問題

（1）若任給x∈[-3，3]使得f（x）≤m2-3m恒成立，求實數m的取值范圍，

（2）若存在x∈[-3，3]使得f（x）≤t2-5t能成立，求實數t的取值范圍.

分析：由案例知f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-2）=28，最小值為f（2）=-4，

（1）f（x）≤m2-3m對x∈[-3，3]恒成立？坩m2-3m≥f（x）max？坩m2-3m≥28，

（2）f（x）≤t2-5t對x∈[-3，3]能成立？坩t2-5t≥f（x）min ？坩t2-5t≥-4.

導數為研究函數性質提供了簡單、程序化的方法和思路，同時為解決恒成立能成立問題提供了階梯.此探究把恒成立（任意性）和能成立（存在性）問題轉化為研究f（x）的最值問題，同時給出了參數與變量分離的形式，為后繼問題提供直觀感知.

【探究2】不等式問題

（1）對案例中的函數f（x）=x3-12x+12，求證： f（x）≤28；

（2）已知函數f（x）=x3+x2-12x-28，g（x）=x2-12，

求證：f（x）≤g（x）.

分析：（1）思路1：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳

f（x）max≤28？坩求函數f（x）最大值；

思路2：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳x3-12x-16≤0

？坩求函數h（x）=x3-12x-16的最大值.

（2）f（x）≤g（x）即x3+x2-12x-28≤x2-12？圳x3-12x-16≤0

？坩求函數h（x）=x3-12x-16的最大值.

導數在不等式中的應用，一般通過構造一個函數，轉化為f（x）>0（或f（x）<0）的形式，再求f（x）的最值而實現.導數為解決此類問題開辟了新的思路，使過去不等式的證明從特殊技巧變為通法，彰顯導數應用的靈活性、普適性.

【探究3】零點交點問題

對案例中的函數f（x）=x3-12x+12，

（1）當x∈R時，關于x的方程f（x）=k有兩個實根，求實數k的取值集合；

（2）當x∈[-3，3]時，關于x的方程f（x）=k有兩個實根，求實數k的取值集合.

分析：由案例知f（x）的增區間為（-∞，-2），（2，+∞），減區間為（-2，2），極大值為f（-2）=28，極小值為f（2）=-4，且

f（-3）=21，f（3）=3，

（1）當x∈R時，關于x的方程f（x）=k有兩個實根

？圳函數y=f（x）圖像與直線y=k有兩個交點，

結合圖像可知k=28或k=-4；

（2）當x∈[-3，3]時，關于x的方程f（x）=k有兩個實根

？圳函數y= f（x）圖像與直線y=k 在x∈[-3，3]有兩個交點，結合圖像特征可知-4

探究3更是將化歸與轉化思想體現得淋漓盡致，一方面，把函數的零點個數問題轉化為圖像的交點個數問題，另一方面，圖像問題又轉化為函數性質問題，函數圖象直觀地反映了兩個變量之間的變化規律，直接作圖往往比較困難，導致這種規律的揭示經常不盡如人意，當我們把問題轉化成為利用導數研究函數性質和圖像時，便順其自然地打開了思路.

所謂“教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行”（園斯金），知識可以通過記憶儲存，方法必須領會而后應用.為檢驗并鞏固所學內容，繼續讓學生思考以下案例：

【案例2】已知f（x）=x-1， g（x），求證：f（x）≥g（x）. [2]

【方案1】令h（x）=f（x）-g（x）= x-1-， x>0 ， h（1）=0，

h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1，

當0

當x>1時，x2-1>0，lnx>0，得h′（x）>0，故h（x）單調遞增，

則x=1時，h（x）取極小值且為最小值，

所以，h（x）≥h（1）=0即f（x）≥g（x）.

大部分學生給出了方案1的解答，教師引導學生繼續思考：

【方案2】f（x）≥g（x）即x-1≥（x>0）

？圳x（x-1） ≥lnx？圳x（x-1）-lnx≥0即x2-x-lnx≥0，

令F（x）=x2-x-lnx（x>0），以下證明F（x）≥0：

F′（x）=2x-1-，令F ′（x）=0，得x=1（x=-舍去），

當0

當x>1時，F′（x）>0，故F（x）單調遞增，

則x=1時，F（x）取極小值且為最小值，

所以，F（x）≥F（1）=0即f（x）≥g（x）.

觀察以上兩個轉化方向，方案1求導后的分式中，分子部分仍為超越函數，本題可觀察得到零點，而在比較復雜的超越函數中，零點往往不易求解；方案2中經過不等式的等價轉化，超越式變為代數式，問題迎刃而解.

高三數學總復習內容多、范圍廣、題量大，讓學生尤其是文科班學生望而卻步，而化歸思想可以成功解決各個領域的許多復雜的問題，對學生的學和老師的教都頗有益處.老師在加強基礎知識和基本方法教學的同時，更要注重數學思想的引導和滲透，讓學生掌握科學的方法，達到優化解題的目的.“教育不是注滿一桶水，而且點燃一把火”（葉芝），只要把握思想領會方法，學生的自我提升便有了無限可能.

參考文獻：

[1]章建躍.普通高中課程標準實驗教科書數學（選修1-1）A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]董均燦.三維設計（2015新課標高考總復習一輪用書，七省專版·數學文科）[M].上海：光明日報出版社，2009.