初中幾何相似三角形的幾種模型及應用

李朝陽

摘 要：針對九下幾何最難的一章《相似三角形》的教學進行研究，特別是對它進行自定義的形象化、模型化歸納，在教學中對復雜多變的相似三角形的尋找和成比例線段的推導有指引作用

關鍵詞： 母子型；四點共圓型；一線三等角型

相似三角形是九年下學期的教學內容，在初中幾何中是最難的一章，相似三角形的有關證明一直是近幾年中考中的重點和難點，在中考常是壓軸題，所占的分數也較多，而且證明的方法靈活多變，為了能讓教師教得更有效率，學生學得更快，更容易理解，特地對本章的教學內容作下面的歸納總結、模型化研究，以便相互學習提高.

相似三角形的幾種判定定理：母定理生了3個子定理（課本定理的形象化描述，僅用于學生的方便記憶）.

母定理（平行定理）（1）…（SSS）（2）…（SAS）（3）…（AA）

（母定理）一直線截三角形兩邊且平行于第三邊，所得的新三角形與原三角形相似.⑴（SSS）若兩個三角形三邊對應成比例，則兩三角形相似；⑵ （SAS） 若兩個三角形兩邊對應成比例且夾角相等，則兩個三角形相似；⑶（AA） 若兩個三角形兩個角對應相等，則兩個三角形相似 .

在母定理推導子定理的過程中用到了全等構造，而全等的構造證明又剛好是用（SSS）、（SAS）、（ASA），為方便相似判定方法的記憶，我們可以采用（SSS）、（SAS）、（AA）來形象記憶相似三角形的三種判定方法.相似三角形的大小不一，沒有全等三角形那么好觀察，而且證法多樣，成比例的線段繁多，給學生解題帶來很多不便，為了便于觀察圖形特征，總結證明規律，特把相似中可能遇到的一些圖形進行模型化歸納研究，以便學生能更快、更好地掌握相似的判定和應用.

4 四點共圓型（圖10-圖12）（四點共圓也稱反A型、反X型，其中比較特殊的是雙垂型（圖12），BC剛好是外接圓的直徑）

四點共圓型本身一般沒有畫出圓，但我們在思考的時候可以借圓來觀察，特別是在圓中來觀察相等的角比較方便、直觀，從而得到相似的三角形，成比例線段等.

以（圖10）為例，在圓中容易得到切割線定理的推論：AD·AB=AE·AC；以（圖11）、（圖12）為例，在圓中容易得到相交弦定理：AE·BE=CE·DE；其中（圖12）兩個定理都存在，里面有4對相似三角形：⑴△FBC∽△FAD、⑵△FCD∽△FBA、⑶△ADE∽△CBE、⑷△ACE∽△DBE.當我們把（圖10）、（圖11）兩個圖的線段連接形如（圖12）（不一定垂直）時，則里面都存在有四對相似三角形，里面成比例的線段很多，可研究的內容太多了，但以圓為參照來觀察、思考就會方便得多，所以把這個模型稱之為四點共圓型.

5 一線三等角型（圖13-圖15）（圖15的一線三直角型是其特例）

一線三等角型相似三角形是以等腰三角形（等邊三角形）、等腰梯形、矩形等為背景（如圖13-圖15）為代表的三種情況）.通過兩角對應相等，我們可以證得左右兩個陰影的三角形相似（以圖13為例）.△BED∽△CDF，即BE·CF=BD·CD.這個積的等式可以看作下圖（圖13）中陰影的左右兩個三角形一線（一線上三等角的那一線）上兩邊的積與兩側兩邊的積相等（橫的兩條邊的積=豎的兩邊積）.若一線（一線上三等角的那一線）如圖（圖14）、（圖15）水平放置，則這一結論一樣適用，這樣學生要記住結論就很容易了.

在平時的解題中，經常會遇到變化的圖形（不會像上面3個圖（圖13-圖15）那么典型），我們要學會觀察發現相似的三角形是哪兩對，從而找到成比例的線段.在觀察變化的圖形中，可以緊緊抓住相等的角，從相等的角尋找對應三角形、對應線段，則萬變不離其宗（如下圖16-圖19）.以三角形為例的幾種變化，觀察標記相同的角即為相等的角，就可以很容易找到相似三角形）.如下（例5、（2013莆田中考25題）.

例5 （圖20）（2013莆田中考第25題）在Rt△ABC中，∠C= 90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E.

（l）特殊驗證：若AC= BC，且D為AB中點，求證：DM= DN，AE= DF；

從上面的許多例子，特別是近三年來莆田中考的例子可以發現：中考相似三角形的有關證明題，眾多考生在解答時都覺得很難，但在上面的用模型的角度來理解分析，都能比較容易而且能較快的證明它.所以對上面所列舉相似模型的理解掌握，對相似的有關證明有重要意義：能促進學生更快的觀察題目的模型，能促進學生更快的找到相似三角形，能促進學生更快的找到成比例線段，能促進學生更快的找到解題方向.

在相似有關證明題中，遇到的模型并不一定是上面所列舉的那幾種，題目總是變化多端，圖形也總是千變萬化.我們只有以相似判定定理為基本，以相似模型為基礎，多練習，多觀察，多歸納總結，對中考中的相似的壓軸題解決一定會有幫助，學生在解題過程中也有思考的方向，解題也更有思路方法.