淺談數學中的最值與優化問題

劉強輝

【摘要】進入二十一世紀的今天人類生活理念：“用最小的投入得到最大的回報”。縱觀這幾年的數學發展不管是中考、高考還是競賽，都無不體現最值的重要性。總之最值問題可以說貫穿著宇宙世界，滲透到我們生活的每個角落，所以一直以來探究數學中的最值及其應用倍受人們的青睞，乃至人類社會發展永恒的主題。

【關鍵詞】最值問題 ?分類思想 ?優化 ?投入成本

那么在生產實踐中，從數學的角度我們可以分為代數最值問題：如在現實生活中，我們經常碰到帶有“最”字的問題，投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等.在幾何圖形中按一定規律運動的元素，在一定的范圍內存在最大值或最小值稱為幾何最值問題，它一般有關于角度的最值、有關線段（距離）的最值、有關周長的最值、有關面積的最值、體積最值等.本文將通過數學中的最值問題的分類與解決思路談談自己的一些膚淺看法.希望它能給學生在數學思想方法和解題思路上帶來啟發。

一 求角的最大值問題

例1、已知定點A（，0），圓O的方程x2+y2=9，動點M在圓上，

則 ∠OMA的最大值為多少？

解：如圖所示，設∠OMA=，AM = x

由cos∠OMA=

即 =

當且僅當x=時

此時 ? ? ?所以

二 距離和的最值問題。

例2、如圖，菱形ABCD中，AB=2，，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小最是

分析：由菱形的性質知：點B與點D關于AC對稱。因為P在AC上

支運動，所以PB=PD。要求PE+PB的最小最，即求

PD+PB的最小值。連接DE交AC于點，則DE即為所求。又∠BAD=60°，AE=AD，E為AB的中點，所以DE⊥AB，而AB=AD=2，所以

DE=，即PD+PB的最小值為

三 求面積的最值問題

例3、 ?如圖，ADPE是個矩形，PD=m，PE=n（mn均不為0），BC為過點P的直線，且與AD、AE的延長線交于B、C。求△ABC的面積的最小值。

解：設∠B=∠EPC=a，△ABC的面積為S。

∴

即： n2 tan2a+2（mn-S）tana+m2=0 ?（n≠0）∵ tana為實數，∴△≥0，

即 ?4（mn-S）2-4m2n2≥0 ? S﹥0 ，∴S≥2mn..

故 ?當 ? tana= ?時 ?△ABC面積的最小值為2mn.

四 求體積的最值問題

例4、 ?設半徑為R的球有一內接圓柱，當內接圓柱體積最大時，求出圓柱的底面半徑和高，并求出體積的最大值。

解：設內接圓高柱為h，底面半徑為r，則，

∴

當且僅當r=R，h=R ?時

總之，隨著工業科學化的突飛猛進，在實際生產、現實生活和科學研究中，許多情形下往往要求操作、經營和決策者考慮怎樣才能以最低的成本、最短的時間獲取最大的效益，這類問題在數學中稱為最優化問題.而數學最優化問題離不開最值，因此如何在數學教學中將數學最值問題——如完成一件事所用的費用最少、路線最短、效益最大、產值最高、容積最大等等與優化問題有效的結合到生活實際中，是教與學的最大挑戰。反之，如果學生只會書本知識，那是我們的教學最大的誤導和失敗。所以在平時的教學中，我們應把培養學生的數學應用意識作為數學教學的根本目標，不僅僅是為了提高學生的數學成績，更為重要的是能使學生學到有用的數學，從實際出發解決數學問題服務日常生活。

【參考文獻】

《模型思想與優化理論》、《如何看待當前經濟研究的“數學化”》、《課程教材研究》