軟件Mathmatica的內建函數在線性代數計算中的應用

李亮

【摘 ? ?要】結合高職院校線性代數課程的教學要求，就數學軟件Mathematica有關于線性代數方面的內建函數的使用辦法作以研究，從而將行列式、矩陣乘法、逆矩陣、矩陣的秩、解線性方程組、特征值等計算內容得以簡化，使高職學生能夠快速、準確的得到所需的計算結果，掌握有效的計算方法，提高學習效率。

【關鍵詞】軟件Mathematica ?內建函數 ?線性代數 ?相關計算

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.100

對于高職數學中線性代數部分的教學要求是，使得學生明白行列式、矩陣、逆矩陣、初等變換等概念，并且掌握住計算的方法，便于幫助學生得到專業課程所需的結果。然而，在這部分內容的教學過程中，不難發現對于高中數學基礎相對較差的高職學生，雖然掌握了求解辦法，但是在繁雜與大量的計算中，經常出現錯誤，難以得到最終正確的結果，而且由于在專業課里所研究的實際問題，更為復雜，計算量龐大，學生往往不能得到最終所需的結論，教學效果并不理想。為解決這個問題，在高職數學課程的教學過程當中，應引入數學軟件Mathematica來幫助學生解決問題。它是一款科學計算軟件，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統等，Mathematica 不僅可以根據需要定義函數，而且它本身包含了大量的功能函數，被稱之為內建函數（Built-in Function），直接調用這些函數可以取到事半功倍的效果。內建函數可以歸為兩類，一是數學上的函數，如三角函數對數函數絕對值函數符號函數等;另一類則是命令意義上的函數了，比如說求行列式的數值，矩陣的秩，做初等變換至行最簡形矩陣，解線性方程組等。下面就軟件Mathematica 10.0的內建函數在線性代數計算中的應用作以研究。

一、行列式、矩陣的輸入及軟件操作規范

我們知道線性代數的基本計算單元是行列式、矩陣，在軟件Mathematica中，我們需要將行列式輸入進Notebook中，方法有以下三種，一是根據菜單創建：Insert―Table/Matrix 在Create選項卡里輸入所需的行數（rows）與列數（columns）;二是利用快捷鍵創建：Ctrl+Enter 可以將矩陣加行，Ctrl+，可以增加一列，從而得到所需的矩陣型號，值得注意的是，有些系統的輸入法也包含此快捷鍵命令，為避免沖突，可將中文輸入法關閉。一般情況下用A、B、C等字母來命名所輸入的矩陣或行列式，避免使用字母D，因為D它本身也是一種內建函數，用于求解導數，如果非要用D來定義的話，在定義前請將字母D接觸保護，才可重新命名。如圖1。三是利用數學操作面板來輸入矩陣，調用辦法為：菜單Paleetes Basic Math Assistant。針對于軟件Mathematica的運行，需要遵從以下幾個操作規范：1每一個內建函數首個字母需要大寫，且函數后面跟中括號[ ?];2 軟件的執行命令為“Shift+Enter”或用小鍵盤上的“Enter”;3 分號代表軟件執行計算，但不再反饋計算結果;4 百分號 %代表上次輸出結果;5 軟件Mathematica讀取矩陣是按照表格list讀取，當我們需要將其轉換為表格形式時，需要用內建函數MatrixForm進行轉換。

二、關于線性代數的常用計算

（一）求行列式的值

行列式求值，一般情況下，為了便于計算，在高職線性代數的教學過程中，給出階數不會超過四階。二階、三階的矩陣可以直接用對角線法則計算，超過三階的行列式，采用化為上（下）三角形行列式，或者按行（列展開）來計算。學生對此種計算方法掌握情況較好，但難免會出現計算錯誤，并且在專業課中如果遇到行列式，階數會較高，計算量龐大，利用軟件的內建函數可以直接給出最終結果，使用方法如圖2，在這里，可以將行列式進行命名，也可直接輸入進行求解。

（二）求矩陣的乘法、轉置矩陣、逆矩陣

矩陣之間的乘法用符號“.”來實現，其內建函數是Dot。在notebook上，按照順序輸入可以相乘的矩陣，利用內建函數Dot來實現。Mathematica 10 版本中，可以根據得出的數據，自動聯想接下來可能的操作，如圖3。

轉置矩陣是將原來的矩陣的行變為列，列變為行，軟件使用的內建函數是Transpose[A];對于高職線性代數的教學逆矩陣的求法是一個難點，可以通過伴隨矩陣的方法來求解低階的逆矩陣，也可以通過初等變換的求法來求解，但是二者的計算量都很大，所以讓學生掌握求解理論后，用軟件來求解，這樣更加便于學生準確求出專業所需的結果。軟件求解逆矩陣的內建函數是Inverse[A]，如果所輸入的矩陣不是方陣或它的行列式值為0，軟件會自動給出相應的提示，從而便于修改進行正確計算。如圖4

（三）行最簡形矩陣、矩陣的秩

矩陣的秩是反映矩陣固有性質的一個重要概念，利用初等變換將矩陣變為行階梯形或行最簡形矩陣，找出非零行的行數，是傳統的求矩陣秩的辦法。用軟件求矩陣的秩或化為行最簡形矩陣，所使用的內建函數分別為MatrixRank[A]，RowReduce[A].如圖5

（四）解線性方程組

Mathematica提供了許多種方法解線性方程組，常用的是以下幾個內建函數：

NullSpace[A] ?求齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系;LinearSolve[A，b] ?求線性方程組Ax=b的一個特解。例如，求解無窮多解的線性方程組Ax=b。如圖6。

（五）特征向量，特征值

在線性變換的理論中，矩陣的特征值有著重要應用，給定方陣A，如果存在一個實數λ和一個向量ζ，滿足Aζ=λζ，則稱λ是A的一個特征值，而ζ稱為A關于λ的特征向量。軟件Mathematica給出的內建函數使用命令是：Eigenvalue[A]，Eigenvectors[A]，Eignsystem[A]，分別用來求解方陣A的特征值，線性無關向量組，全部特征值和對性的線性無關向量組。其中函數Eignsystem[A]最好用，輸出結果含義十分清楚，通常使用這個函數就夠了;命令CharacteristicPloynomial[A，x]是用來求解方陣A的特征多項式，其中x指明了多項式所使用的字符。例如求方陣的特征多形式、特征值與對性的特征向量，如圖7

三、內建函數與線性代數運算對應表

對于在高職線性代數部分的教學過程中，所需要的使用的Mathematica的內建函數使用命令如表一所示：

通過對軟件Mathematica內建函數的研究，在教學過程中，讓學生掌握其使用規范及內建函數的相關功能，以便于學生能夠快速準確的得到專業上所需要的計算結果，提高學習、工作的效率。

參考文獻

[1]《Mathematica基礎與應用》，丁大正主編，電子工業出版社2012.12.

[2]《Компьютерная математика символьный пакет MATHEMATICA》 Голубева Л.Л 著 Belarusian State University 2006.6.

[“本文系2013年度邯鄲市教育科學“十二五””規劃課題：軟件Mathematica在高職數學教學中應用研究的研究成果，課題編號是1311002”]