用樹形圖法求概率

宋春梅

【摘 要】以考察隨機事件發生的可能性大小的計算公式及用列舉法求簡單事件的概率為命題熱點，在今后的中考試題中，求概率的問題仍是必考內容。所以，在九年級的數學教學中必須加以重視，特別是“放回”、“不放回”的問題，一定要給學生講清楚、講明白。這類題的題型有選擇題、填空題和解答題，以基礎題為主。而解決這類題的方法是列表法或畫樹形圖法。

【關鍵詞】“放回”；“不放回”；樹形圖；概率

考點一：簡單事件概率的求解

例1、在5瓶飲料中，有2瓶已過了保質期，從這5瓶中任取1瓶，取到已過保質期飲料的概率為 （結果用分數表示）

解析：因為在5瓶飲料中，有2瓶已經過了保質期，所以從這5瓶飲料中任取1瓶，取到保質期飲料的概率是 2-5。

考點二：用樹狀圖法求概率

該考點是中考的重點，難度中等偏上，呈現的形式有選擇、填空、解答，其中以解答的形式為主，分值在10分左右。

樹狀圖法：是用樹形圖的形式反映事件發生的各種結果出現的次數和方式，以及某一種事件發生的可能的次數和方式，并求概率的方法。

樹狀圖法運用的范圍：①試驗涉及2個或2個以上的因素或需3個步驟或3個以上步驟；②事件可能出現的結果數目較多。

例2、襄陽市轄區內旅游景點較多，李老師和剛初中畢業的兒子準備到古隆中、水鏡莊、黃家灣三個景點去游玩。如果他們各自在這三個景點中任選一個作為游玩的第一站（每個景點被選為第一站的可能性相同），那么他們都選擇古隆中為第一站的概率是

解析：李老師先選擇，然后兒子選擇

畫出樹狀圖如：

一共有9中可能，都選擇古隆中為第一站的有一種情況。

所以P（都選古隆中為第一站）= 1-9

例3、一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“靈” “秀” “ 鄂”“州”

四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球。

（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“鱷”的概率為多少？

（2）甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖的方法，求甲取出的漢字恰好能組成“靈秀”或“鄂州”的概率P1；

（3）乙從中任取一球，記下漢字后再放回袋中，然后再從中任取一球，記乙取出的兩個球上的漢字恰能組成“靈秀”或“鄂州”的概率為P2，指出P1、P2的大小關系（請直接寫出結論，不必證明）。

解析：（1）從有漢字“靈”“秀”“鄂”“州”的四個小球中，任取一球，共有4種不同的結果，利用概率公式直接求解即可求出答案；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖求得所有等可能的結果與甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“靈秀”或“鄂州”的情況，再利用概率公式即可求出答案；注意是不放回試驗；

（3）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖求得所有等可能的結果與甲取出的兩個球上的漢字恰能組成“靈秀”或“鄂州”的情況，再利用概率公式即可求出答案；注意是放回試驗。

解：（1）因為有漢字“靈”“秀”“鄂”“州”的小球，任取一球，共有4種不同結果，所以球上漢字剛好是“鄂”的概率P= 1-4

（2）畫樹狀圖如：

所以共有12種不同取法，滿足要求的有4種，所以P1= 4-12= 1-3

（3）畫樹狀圖如：

因為共有16種不同取法，能滿足要求的有4種，所以P2= 4-16 = 1-4，所以P1>P2。

這類求概率題，只要“放回”試驗及“不放回”試驗的問題理解了，難點也就突破了。

當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用畫樹狀圖法。

例4、從3名男生中選2人，2名女生中選1人，參加校團委會工作，求男生甲當選的概率。

解析：此問題中有3人，包括3步，宜用樹狀圖法。

不妨設3名男生為甲，乙，丙，2名女生為1，2.

解：

從樹狀圖中，可知共有12種結果，設男生甲當選的條件A，A包含8個可能結果，所以P（A）= 8-12= 2-3。

提出問題：本題還有其他更簡便的做法嗎？

學生探究，小組討論。

教師歸納：因為本題實質是求從3名男生中選2名，甲當選的概率，女生2名中選1名，選誰都不影響甲當選的概率。所以，試驗只有2步，用列表法，樹狀圖法均可，數目少也可以直接列舉：甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙，共6種可能結果。設甲當選為事件A，A包括4種結果，則P（A）= 4-6 = 2-3。

當一次試驗中包含三步走時，宜用畫樹狀圖形法，在使用樹狀圖形時，可能結果是有限且等可能的。

注意：

（1）樹形圖中的每個“分支”的意義不同，但他們具有相同的可能性。

（2）用樹形圖法求概率問題不能忽略任何一種情況。