高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題

楊曉

近幾年來(lái)，隨著新課程的改革，對(duì)教師的要求也提到了更高的層次，如何全方位地把握高中數(shù)學(xué)教學(xué)，用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)和方法來(lái)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，溝通高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力將成為新形勢(shì)下衡量一位高中數(shù)學(xué)教師能否勝任的標(biāo)準(zhǔn)之一，同時(shí)也是搞活中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條有效途徑。另外，隨著高考命題自主化的深入，越來(lái)越多的省和地區(qū)開始嘗試自己命題，而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們?cè)诿}時(shí)，會(huì)受到自身研究氛圍的影響，有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題會(huì)逐漸增加豐富起來(lái)。因此有許多以高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)為背景而用初等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述的“高觀點(diǎn)”問(wèn)題，越來(lái)越多的出現(xiàn)在試卷上，本文通過(guò)幾個(gè)案列分析，來(lái)探究“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、將高等數(shù)學(xué)中的某些簡(jiǎn)單的命題、概念、定理移用為高考數(shù)學(xué)試題的一種方法

在高等數(shù)學(xué)中，很多重要的定義、定理都建立在初等數(shù)學(xué)知識(shí)之上，并且需要或者能夠用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決的，這些高初知識(shí)的銜接處為引用提供了試題命制的環(huán)境和條件。

例1：（2009年浙江理10）對(duì)于正實(shí)數(shù)α，記Mα為滿足下述條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：且，有

.下列結(jié)論中正確的是

A.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則f（x）·g（x）∈Mα1-α2

B.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且g（x）≠

0，則

C.若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則f（x）+

g（x）∈Mα1+α2

D.f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1>α2，則

本題就是考察高等數(shù)學(xué)中的利普希茨條件：若存在常數(shù)K，使得對(duì)定義域D的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，均有成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨條件，直觀上，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于一個(gè)稱為利普希茨常數(shù)的實(shí)數(shù)，實(shí)際上問(wèn)題中的正實(shí)數(shù)α就是這個(gè)常數(shù)，該常數(shù)依函數(shù)而定，而問(wèn)題中的集合就是滿足利普希茨條件Mα的函數(shù)集合。

例2：（2012福建理7）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.D（x）的值域{0，1}

B.D（x）是偶函數(shù)

C. D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

本題以抽象的狄利克雷函數(shù)概念作為命題的背景，它是一個(gè)處處不連續(xù)、處處極限不存在、不可積分的偶函數(shù)；它沒(méi)有具體的圖形、解析式和實(shí)際背景；它以任何正有理數(shù)為周期，但它無(wú)最小正周期。

例3：（2011廣東理8）

設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果，有ab∈s，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，T∪V=Z，且，有abc∈T，，有xyz∈V。

A.T，V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

B.T，V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

C.T，V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

D.T，V中每一個(gè)關(guān)于乘法是封閉

本題以高數(shù)群論中的數(shù)域?qū)\(yùn)算的封閉為背景命題，主要考察能否理解并用此概念來(lái)判斷新構(gòu)建的集合T，V對(duì)乘法的封閉性。

二、對(duì)高等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題、概念或原理特殊化，具體化，低維化使之成為具體的初等化內(nèi)容

它使得高等數(shù)學(xué)中的一般、抽象的問(wèn)題變成具體的、適合中學(xué)生做的問(wèn)題，有較強(qiáng)的綜合性和新穎性。

例4（2012江西理6）觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11…則a10+b10=（ ）

A.28 B.76 C.123 D.199

本題主要考察斐波那契數(shù)列，從這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)部機(jī)理來(lái)考究，斐波那契數(shù)列

遞推式an+2=an+1+an的特征方程是x2-x-1=0，而從a+b=1，a2+b2=3，可以發(fā)現(xiàn)a+b=1，ab=1，a，b恰好是特征方程的兩個(gè)根，并且有an+bn=（an-1+bn-1）（a+b）-ab（an-2+bn-2）=（an-1

+bn-1）+（an-2+bn-2），和斐波那契數(shù)列的遞推式非常吻合，體現(xiàn)了高處出題，初等做題的思想。

三、高等數(shù)學(xué)中的概念和定理的表述方式，將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的初等數(shù)學(xué)語(yǔ)言

借此回避高數(shù)概念，將高等數(shù)學(xué)語(yǔ)言的思想隱藏在初等數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，借用高等數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述初等內(nèi)容，考核具有高等數(shù)學(xué)背景的思想方法。

例5：定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”。現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①；②；③；④。

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為 （ ）

A.①② B.③④ C.①③ D.②④

本題考查等比數(shù)列經(jīng)歷不同的函數(shù)變化后等比的“保持性”，引進(jìn)了一個(gè)新的名稱——保等比數(shù)列函數(shù)，無(wú)實(shí)質(zhì)的高等數(shù)學(xué)概念和定理，學(xué)生首先要讀懂題意，然后再去利用定義求解，抓住實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵。

例6：（2012北京理20）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零.記S（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

對(duì)于，記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（1≤i≤m），cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）.

記為，，…，，，，…，中的最小值.

1 1 -0.8

0.1 -0.3 -1

（Ⅰ）對(duì)如下數(shù)表A，求k（A）的值；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)表形如

1 1 C

a b -1

求k（A）的最大值；

（Ⅲ）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的，求k（A）的最大值.

本題不是考察某個(gè)確定的高等數(shù)學(xué)概念，但是語(yǔ)言形式的呈現(xiàn)上是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的形式描述集合，有比較多的抽象的符號(hào)，具有高度的概括性和一致性，既有邏輯語(yǔ)言的特點(diǎn)，又有矩陣語(yǔ)言的特征。

四、著眼于已知的高等數(shù)學(xué)定理，從已知的高等數(shù)學(xué)定理出發(fā)，將已知條件等價(jià)變形，依次擴(kuò)大條件和結(jié)論之間的距離

將高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論作載體搭建高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，這些載體類別多樣，設(shè)置各種初等數(shù)學(xué)背景。

例7：（2012遼寧理12）若，則下列不等式恒成立的是 （ ）

A. B.

C. D.

本題高等數(shù)學(xué)中對(duì)于函數(shù)f（x）可以利用泰勒級(jí)數(shù)展開式展成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。

例8.（南通2008第二次調(diào)研考試.19）

已知函數(shù)如果是增函數(shù)，且存在零點(diǎn)（為的導(dǎo)函數(shù)。

①求a的值；②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1解析：（1）略。a=e。

（2）由（1）得

即.

將x2換成x構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)?/p>

則，∵即在定義域上單調(diào)增，

。即同理可證

點(diǎn)評(píng)：本道題目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則（a，b）至少存在一點(diǎn)x0，使得。而我們解決這一問(wèn)題的手段是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性，從而求證不等式。我們學(xué)過(guò)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，正弦、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理。

高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)課程改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容，能不能實(shí)行高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，是新課程改革成功的關(guān)鍵。而作為數(shù)學(xué)老師的我們也只有掌握了高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，才能使認(rèn)識(shí)達(dá)到一定的高度，才能透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，才不會(huì)被事物的假象迷惑，才可以從應(yīng)試教育的泥潭中跳出來(lái)。因此作為數(shù)學(xué)老師，我們有必要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與中學(xué)數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來(lái)，這樣，不僅能夠加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解，而且能夠使我們準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵，從而處理中學(xué)教材，用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓廣學(xué)生的解題思路，提高解題能力。