揭開神秘的面紗 走進璀璨的殿堂

許長泰

摘 ? 要：教師的授課，應該認真地把握好知識的節點，有的放矢地做好“導”的角色轉變，特別是對于中等或中等以下的學生，教師的課堂教學角色尤顯重要.

關鍵詞：數學;解題;方法;研討

學好數學其實一點都不難，一定要找到感覺，本文將著重從幾個事例，來加以印證如何引領學生走進數學的殿堂，慢慢地揭開它的面紗.每道題都有它的構造特點，如何在細節上多下功夫，是解決問題的關鍵.因此，教師的授課，應該認真地把握好知識的節點，有的放矢地做好“導”的角色轉變，特別是對于中等或中等以下的學生，教師的課堂教學角色很重要，應重視對問題的詳細分析.

1 ? 循序漸進，找回信心與感覺

有一天，一個學生問我這樣一道題：已知+=2，則a的取值范圍是____________.如果你滔滔不絕地講下來，以后碰到了類似的題學生還是不會做，因為數學不是靠記或背來學的，而是要領悟其緣由，因此我借助于圖1數形結合的思想來分析：+=|2-a|+|a-4|=2，然后在數軸上以2和4為界點進行分類討論，此時中等生不太明確為什么要分成①a<2;②2≤a≤4;③a>4這三種情況來討論？此時教師應該耐心地抓住知識的節點，要判斷代數式2-a與a-4的取值符號，就得以2-a =0與a-4=0為界，因此將數軸分成三部分來討論，即可得出a的取值范圍是2≤a≤4.

2 ? 解開層層迷霧

生活中處處布滿迷團和疊障，只要我們勇敢地面對，即可撥開迷霧見青天.如何解決生活中的數學問題，也是如此，只要我們掌握恰當的數學學習方法 [1 ]，明確其數學的模型特點，層層深入，從容地找到解題的技巧，一切問題也就迎刃而解了.

例如：某學校開展“青少年科技創新比賽”活動，“喜洋洋”代表隊設計了一個遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運動的模型.甲、乙兩車分別從A，B同時出發，沿軌道到達C處，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2（米），則d1，d2與t的函數關系如圖2，試根據圖象解決下列問題：

（1）填空：乙的速度v2=___________米/分;

（2）寫出d1與t的函數關系式;

（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時信號不會產生相互干擾，試探求什么時間兩遙控車的信號不會產生相互干擾？

分析：這是一道一次函數的應用題，“分類討論”起到很大的作用，特別是第（3）小題，從圖象中不難發現：（1）根據路程與時間的關系，可得答案：乙的速度v2=120÷3=40（米/分）.

（2）根據甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根據路程與時間的關系，可得a的值，根據待定系數法，可得答案：

v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），60÷60=1（分鐘），a=1，因為甲、乙兩遙控車都沿直線軌道AC做勻速直線運動，則

d1=-60t+60（0≤t<1）;60t-60（1≤t≤3）.

（3）根據兩車的距離，可得不等式，根據解不等式，可得答案.

d2=40t，由輔助的平面行程圖3可知當0≤t≤1時，兩車的距離為d2+d1>10，即-60t+60+40t>10，解得t<2.5.

∴當0≤t<1時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾;

當1≤t≤3時，d2-d1>10，即40t-（60t-60）>10，

當1≤t<2.5時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾

綜上所述：當0≤t<2.5時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾.

本題綜合性地考查了一次函數的應用：（1）利用了路程速度時間三者的關系;（2）分段函數分別利用待定系數法來求解;（3）利用分類討論的思想來解決，即當0≤t≤1時，d2+ d1>10;當110，分類討論是解題關鍵.

從上述的解答中，我們可以發現，其實有很多數學問題都可以借助分類討論的方法來解決，這就需要老師不斷地培養學生的分析能力，解決問題的能力，加深領會數形結合的思想方法，發展學生形象思維能力 [2 ].

再例如：已知點B（0，3），C（0，1），對大于1的常數m，求x軸上的點M的坐標，使得sin∠BMC=.

分析：由于BC=2，sin∠BMC=，因此點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點M應是⊙E與x軸的交點.然后對⊙E與x軸的位置關系進行討論，只需運用矩形的判定定理與性質、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M的坐標.

解：當1

∵CP是⊙E的直徑，

∴∠PBC=90°.

∴sin∠BPC===

∵sin∠BMC=，

∴∠BMC=∠BPC.

∴點M在⊙E上.

∵點M在x軸上

∴點M是⊙E與x軸的交點.

∵EG⊥BC，

∴BG=GC=1.

∴OG=2.

∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，

∴四邊形OGEH是矩形.

∴EH=OG=2，EG=OH.

∵1

∴EH>EC.

∴⊙E與x軸相離.

∴x軸上不存在點M，使得sin∠BMC=.

②當m=2時，EH=EC.

∴⊙E與x軸相切.

Ⅰ.切點在x軸的正半軸上時，如圖5所示.

∴點M與點H重合.

∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，

∴EG==.

∴OM=OH=EG=.

∴點M的坐標為（，0）.

Ⅱ.切點在x軸的負半軸上時，同理可得：點M的坐標為（-，0）.

③當m>2時，EH

Ⅰ.交點在x軸的正半軸上時，設交點為M、M′，連接EM，如圖5所示.

∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，

∴MH===.

∵EH⊥MM′，∴MH=M′H.

∴M′H=.

∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，

∴EG===.

∴OH=EG=.

∴OM=OH-MH=-，

OM′=OH+HM′=+，

∴M（-，0）、

M′（+，0）.

Ⅱ.交點在x軸的負半軸上時，

同理可得：M（-+，0）、

M′（--，0）.

本題考查了用待定系數法求反比例函數的關系式、勾股定理、三角函數的定義、矩形的判定與性質、直線與圓的位置關系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過構造輔助圓解決問題，綜合性比較強，難度較大.由BC=2，sin∠BMC=聯想到點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關鍵.如何引導學生構建輔助圓的模型及分類討論的方法呢？首先要求的點M在x軸上，而∠BMC可想像以BC為公共弦的同弧圓周角，因此所構造的⊙E的半徑為m，CE交⊙E于點P，連BP，則∠PBC=90°，故sin∠BMC= sin∠BPC===;模型構造完后，再進一步地往下探究，不難發現，隨著m取值的變化，⊙E與x軸的交點情況也將隨之改變，因此接下來將逐一討論⊙E與x軸相離、相切和相交這三種情況，當然還得考慮⊙E落在y軸左側時的情形，只要利用對稱性即可得出完整的答案.

3 ? 找到解決問題的關鍵

作為教師，面對的是一群懵懂的學生.為了讓每一個學生都能得到不同的發展，教師要適時點拔，給學生自主探究空間，掌握發現問題、分析問題的方法，最終達到具備解決問題的能力.

下面我們再來探究函數圖像平移與分類問題：

如圖6，經過點A（0，-4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（-2，0）和C兩點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個單位長度、再向左平移m（m>0）個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍;

（3）設點M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長.

分析：（1）將點A、B代入拋物線即可得拋物線的解析式為：y=x2-x-4.

（2）依題意，得y=（x+m-1）2-1∴頂點P（1-m，-1），由（1）拋物線的解析式得C（4，0）.

因此直線AB：y=-2x-4; 直線AC：y=x-4.

當點P在直線AB上時，-2（1- m）-4=-1，解得m=2.5;

當點P在直線AC上時，（1- m）-4=-1，解得m=-2.

∴當點P在△ABC內時，-2

又∵m>0，則符合條件的m的取值為：0

（3）由A（0，-4），B（-2，0）得AO=OC=4，且△OAC為等腰直角三角形.

如圖在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°.

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB.

如圖，在△ABN，△AMB中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B.

∴△ABN∽△AM1B，得AB2=AN·AM1 .

易得：AM1==10.OM1= AM1-OA=10-4=6，而∠AM1B=∠AM1B=∠ABN，

∴OM1=OM1=6，AM1=OM1-OA=6-4=2.

綜上：AM的長為10或2.

通過本題的分析，我們容易發現，學好數學并不難，只要我們能利用數形結合的思想方法，能耐心地揣摩出題中條件的意圖，即使題中需要分類討論也可以逐一地解開它的面紗.

本文通過幾個與分類討論有關的范例，讓學生掌握分類思想在具體問題中的應用條件、方式增添了學好數學的信心，因本人閱力有限，才疏學淺，表述上若有不妥之處，請廣大讀者能提出批評指正.

參考文獻：

[1]程銀生.一道被舍棄填空題的教學運用[J]. 中學數學教學參考，2014（6）：41-43.

[2]趙立春. “一次函數模型的應用”難點剖析及教法改進[J].中學數學教學參考，2015（1-2）：39.