抽象函數問題覺題型及解法綜述

萬保軍

抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數。由于抽象函數表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一，其性質常常是隱而不露，但一般情況下，大多是以學過的常見函數為背景，將函數性質通過代數表述給出。抽象函數的相關題目往往是在知識網絡的交匯處設計。高考對抽象函數的要求是考查對函數的概念和知識的內涵及外延的掌握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數學后繼學習的潛能。為了擴大讀者的視野，特就抽象函數問題常見題型及解法分析如下。

一、函數的基本概念問題

1.抽象函數的定義域問題

例1 已知函數f（x?）的定義域是[1，2]，求f（x）的定義域。

解：由函數f（x?）的定義域是[l，2]，得l≤x≤2，則1≤x?≤4。

故函數f（x）的定義域是[1，4]。

評析：一般地，已知函數f（ψ（x））的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當于已知f（ψ（x））中x的取值范圍為A，據此求ψ（x）的值域問題。

例2 已知函數f（x）的定義域是[-1，2]，求函數的定義域。

解： 由函數f（x）的定義域是[-1，2]，得：在函數中，

解得

故函數的定義域是。

評析：這類問題的一般形式是：已知函數f（x）的定義域是A，求函數f（ψ（x））的定義域。正確理解函數符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。一般地，若函數f（x）的定義域是A，則x必須是A中的元素，而不能是A以外的元素，否則f（x）無意義。因此，如果f（xo）有意義，則必有所以這類問題實質上相當于已知ψ（x）的值域是A，據此求z的取值范圍，即由ψ（x）∈A建立不等式，解出z的范圍。例2和例1形式上正好相反。……