淺談勾股定理的證明方法

張彥彥

摘 要：何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據考證，人類對這條定理的認識已經超過了4000年。據史料記載，世上有300多個對此定理的證明。

關鍵詞：勾股定理；證明方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-217-01

何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據考證，人類對這條定理的認識已經超過了4000年。據史料記載，世上有300多個對此定理的證明。勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法。這是數學中任何定理都無法比擬的。

本文中僅介紹勾股定理的證明方法中最為精彩的兩種證明方法，據說分別來源于中國和希臘。

1、中國方法：畫兩個邊長為 的正方形，如圖，其中 為直角邊， 為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以 為邊，右圖剩下以 為邊的正方形。 于是得 。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等；⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

值得指出的是，由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的。 為此，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”，法國人稱之為“驢橋問題”，阿拉伯人稱之為“新娘圖”、“新娘的坐椅”。 在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風車”等，這些可能是從其幾何圖形得到的靈感吧

總之，在探究勾股定理的道路上，我們走向了數學殿堂，并且會越走越遠……