平均變化率教學案例

陳碧云

摘 要：平均變化率” 是導數概念的第一節課，雖然是個輔助性概念，但它是研究瞬時變化率及導數概念的基礎，是“進軍”導數的必經之路。對變化率概念的建構將直接影響導數概念的學習。平均變化率蘊含了豐富的生活背景，體現了數學的實用價值，縮短了數學與生活的距離，是培養學生學習數學興趣，認識數學價值不可多得的好材料。

關鍵詞：平均變化率；教學案例

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）07-174-02

一、內容與內容解析

“平均變化率” 是導數概念的第一節課，雖然是個輔助性概念，但它是研究瞬時變化率及導數概念的基礎，是“進軍”導數的必經之路。對變化率概念的建構將直接影響導數概念的學習。平均變化率蘊含了豐富的生活背景，體現了數學的實用價值，縮短了數學與生活的距離，是培養學生學習數學興趣，認識數學價值不可多得的好材料。學生親自經歷將生活原形概括抽象為數學模型的過程，隱含了特殊到一般、類比、數形結合等數學思想方法，在概念的構建過程中通過對生活現象和物理問題如何作出合理的數學闡釋發展了學生數學語言表達能力，同時培養了學生的抽象意識、推理意識、數學審美意識等，促使學生用數學的眼光去觀察、分析和表示各種事物的數量關系，能主動地用數學思想、方法來思考問題。

二、教學實錄

教師：有些同學認為數學很抽象，離我們的生活很遠。其實只要大家能常常戴上“數學”的眼鏡觀察生活中的一些現象，你一定會發現原來生活離我們這么近。下面我們來看幾個例子。

近幾年房價成為全社會關注的焦點，下圖是某小區的房價曲線圖（幻燈出示圖片），大家觀察圖像后有什么發現？

學生：房價一直在增長而且增長得越來越快。

教師：同學們觀察得很仔細，那么2008至2010年度房價的增長速度有沒有比1997至2008的增長速度快呢？你怎么得出該結論的？

學生：有，2008至2010年度對應的曲線比1997至2008年對應的曲線陡峭。

教師：大家從曲線的陡峭程度直接觀察出來了，那么能不能用準確的數值來刻畫房價增長得越來越快？

學生：可以用平均每年的增長量

教師：大家一起來計算1997至2008平均每年的增長量和2008至2010年度平均每年的增長量。

學生計算回答，教師板書： 元 年； 元 年

教師：這個例子用平均增長量刻畫了房價增長得越來越快。

教師：小時候大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中，會發現氣球會越來越難吹。那么，請同學們思考一下氣球為什么會越來越難吹？從數學角度如何描述這種現象呢？學生有些茫然。

教師：看來大家碰到了一點小困難，接下來先請兩位同學上來做一個吹氣球的實驗，大家仔細觀察，看能不能從數學角度解釋氣球為什么會越來越難吹？

數學小實驗：學生甲拿著打氣筒，學生乙拿著氣球（氣球內沒有空氣，打氣筒的出氣嘴與氣球的氣嘴事先連接好）.同學甲先向氣球內打10下氣，同學乙測得此時氣球的半徑為0.5dm 經全班同學計算得氣球的容積約0.52升 ；同學甲接著再向氣球內打10下氣，同學乙測得此時氣球的半徑約為0.63dm，計算得氣球的容積為1.04升。

教師：觀察實驗數據，大家有什么發現？

學生：當吹進去的氣體相同時，氣球膨脹越來越慢。

學生：當吹進去的氣體相同時，氣球膨脹越來越慢也就是氣球半徑的增加量越來越小。

教師：如果我們把氣球看做一個球，當吹進去的氣體相同時，氣球膨脹越來越慢，也就是氣球半徑的增加量越來越小。我們能不能用數值來準確刻劃該現象呢？有哪位同學能說一下？

學生：可以用半徑的差除以氣球容積的差。

學生進行計算回答，教師板書： ；

教師：我們用半徑的差除以空氣容積的差這樣的比值刻畫了氣球膨脹的快慢，這個比值我們也稱為氣球的平均膨脹率。當空氣容量從 增加到 時，氣球的平均膨脹率是多少？

學生回答，教師板書：

教師播放多媒體課件（我國運動員郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運會上跳水比賽視頻）

多媒體展示：在高臺跳水運動中， 運動員相對于水面的高度 （單位：m）與起跳后的時間 （單位：s）存在函數關系 ，如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態， 那么：（1）在 這段時間里，運動員的平均速度為多少？（2）在 這段時間里， 運動員的平均速度為多少？

學生進行計算回答，教師板書

教師：平均速度可以描述運動員在某段時間內運動變化的快慢。當運動員起跳后的時間從 增加到 時，運動員的平均速度是多少？

學生回答，教師板書

教師：我們再來回憶一下上面的三個情景，他們有哪些共同點？

學生討論交流，教師提問學生后共同歸納出：都有兩個變量，而且兩個變量一個變量隨另一變量變化而變化。都是用差值的比來刻畫變化的快慢。

教師：一個變量隨另一變量變化而變化即兩變量存在對應關系，可以用哪個數學模型來刻畫這種對應關系？

學生：函數。

教師：那么如何刻畫函數f（x）在區間 上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？ 學生：函數值的差與自變量的差的比值。

教師：我們把這些比值稱為函數在某一區間上的平均變化率，能歸納出函數在給定區間的平均變化率的定義嗎？（提問）

學生：一般地，函數y=f（x）中，式子 稱為函數f（x）從x1到x2的平均變化率。

教師：習慣上用 表示 ，即 ，類似地 ，則平均變化率可表示為 。把 看作相對于 的一個“增量”，于是可用 代替 ，平均變化率公式還可改寫成

教師：如圖觀察函數f（x）的圖象，由平均變化率公式 你能聯想哪個公式？平均變化率表示什么？

讓學生獨立思考，自己動手畫圖，教師進行個別指導交流，然后教師結合多媒體展示下面的圖像進行總結歸納。

教師：通過探討我們知道了，平均變化率表示函數圖像上兩點所在直線的斜率。

教師：同學們能舉出一些用函數的平均變化率刻畫因變量隨自變量變化“快慢”的例子嗎？同學們討論交流回答。

教師：同學們，只要我們經常戴上數學的眼鏡看生活，在生活中去“尋找”數學，去“用”數學。你一定會發現數學離我們是那么近，數學不僅有趣而且有用。

三、感悟與反思

《普通高中數學課程標準》中指出：“發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊含的一些數學模式進行思考和作出判斷應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展數學建模的學習活動”。本課例我以學生為中心，以問題為載體，體會數學概念如何從背景到數學化的全過程，從而水到渠成的構建了平均變化率這個數學概念。同時培養學生處理信息能力和將實際問題抽象為數學問題的能力。在教學中注重知識的形成過程，提供觀察、探索、交流的機會，引導學生獨立思考，有效地調動學生思維，滲透特殊到一般、類比、數形結合等數學思想方法，使學生學到知識的同時又學會方法。在教學過程中有意識的引導學生學會利用數學知識解釋生活現象，培養學生數學語言表達能力。