小學數學思維能力教學案例與分析

張丹 崔光佐 安秀梅

2011年版數學課程標準（修改稿）中確定小學數學的課程總體目標是學生知識技能、數學思考、問題解決、情感態度的整體發展與實現。新課標在注重基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的同時，突出強調要進一步促進學生運用數學的思維方式進行思考，增強其發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。數學課程在我國基礎教育中起著非常重要的作用，其目標不僅僅是使學生獲得數學本身的知識，更重要的是通過數學教育培養學生的思維能力和創新能力。

在數學課堂上，教學目標的準確把握和定位是教學設計和教學活動實施的靈魂所在。小學數學新課改以后，究竟如何將思維能力培養作為教學目標，并以此為依據進行教學設計和課堂實施呢？在對部分數學教師進行訪談后發現，對于某些具體課程大家并不能十分確定將哪一種數學思維能力的培養作為本節課的教學目標；即便是教學目標相同的課，由于教學設計和教學活動不同，導致教學效果可能千差萬別，學生在課堂上所獲得的知識、技能、思維能力也不盡相同。

那么，如何確定小學數學課程需要重點培養學生的哪些數學思維，如何以這些思維能力的培養為目標來進行教學設計，確定教學內容和教學方式，又如何按照教學設計來進行課堂實施，在實際教學過程中如何操作？本文以小學數學六年級《扇形》一課為例，系統展現了如何明確某一節課教學內容的主要思維能力，如何設計與完善教學問題，如何組織教學任務的研究與實踐過程。

教學設計

（一）教材分析

《扇形》是義務教育課程標準人教實驗教科書《小學數學》 六年級上冊第五單元的內容。根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》對相關內容的調整，“扇形”由選學變為正式教學內容。扇形的內容是學習扇形統計圖的必要基礎，是學生在學習了圓的認識、周長和面積的基礎上進行認識學習的，屬于圖形與幾何的范疇。學好扇形這部分內容有利于提高學生的動手能力，對培養學生在日常生活中應用數學的意識和能力有著重要意義。

不同版本的教材對本節內容的側重點是不同的（如圖1）。人教版和北師大版的教材首先呈現了名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是扇形？然后結合圖示，以直接介紹的方式，把扇形這個數學名詞與學生已有的生活經驗建立聯系，目標是使學生認識扇形，掌握扇形的一些基本特征。而臺灣部編版的教材則是在介紹“弧”“扇形”“圓心角”等術語的含義以后，讓學生掌握一些簡單的弧長或圓心角的計算。通過對幾個版本教材的分析，結合學生的特點，本節課的設計考慮重點引導學生在解決實際問題的過程中認識扇形，通過圓和扇形之間的轉化關系來促使學生掌握扇形的特征。

（二）學情分析

在學習本節課之前，學生在四年級已經掌握了角的度量，比較熟悉平角、直角等知識。在六年級（上）第五單元里已經認識了圓，學會了用圓規畫圓，掌握了圓的基本特征，理解和掌握了圓的周長和圓的面積計算公式，并能夠解決一些相應的實際問題。同時學生已具備了初步的動手操作能力和主動探究能力以及合作學習的習慣，形成了一定的空間觀念。

為了深入了解學生，設計了下面的問題：

通過調研發現：絕大部分學生已經在課前都了解扇形會有“兩條直的邊，一條彎的邊”，說明學生對于扇形也有一定的知識積累和生活經驗，為扇形的認識也打下了一定的基礎；極少數學生能感覺到扇形與圓心角和半徑相關，而扇形的大小與半徑和圓心角怎么相關，學生全然不知。

（三）設計思想

在“扇形”的教學中，更多的教師在課堂中是引導學生回憶生活中出現的類似“扇形”的物品，然后直接介紹“扇形”“弧”“圓心角”等術語的含義。《幾何原本》中這樣定義扇形：由頂點在圓心的角的兩條半徑和這兩條半徑所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。但是如果這樣按照定義直接介紹扇形的各個組成部分，學生理解起來比較抽象，扇形和所在圓的關系更是難以理解，學生也不知道扇形在生活中有什么實際的用途。因此，在充分研究學生認知特點和教材的基礎上，抓住新舊知識的銜接點，遵循從猜測、探究、驗證、結論到應用的規律是本節課設計的主要特點。

為了使學生能夠自主探究出扇形的概念與特點，我們設計三步探究活動來突破難點。活動一：通過生活中真實發生的關于扇形灌溉的問題，讓學生利用圓規畫出扇形，初步感知扇形的特點。活動二：求出扇形相關的面積，理解扇形與所在圓、圓心角和半徑之間的關系。活動三：由學生討論、總結出扇形的定義和各組成部分。

三個探究活動的設計將學生引入問題情境，讓學生自然地利用扇形和圓的關系來探究扇形，潛移默化地向學生滲透了“化歸”數學思想，引導學生思考，讓學生逐漸成長為一個獨立的學習者。

教學過程

（一）教學目標

知識與技能：能夠理解扇形的定義，能夠計算一些簡單的扇形相關的面積。

思維能力：能夠利用扇形解決一些簡單的問題，能夠自主探究發現扇形的定義和扇形與所在圓、圓心角和半徑之間的關系。

過程與方法：學會細心觀察、大膽猜測、有序操作、抽象概括；能了解推理問題的一種思路，即猜測、探究、驗證、結論、應用；理解“化歸”數學思想。

情感、態度與價值觀：在探究活動中激發創新意識，提高創新和實踐能力；感悟探究的樂趣；增強對科學探究的興趣，享受成功的喜悅。

（二）教學重點、難點

教學重點：利用扇形與所在圓的關系計算簡單扇形的面積。

教學難點：通過操作活動探究扇形與所在圓的關系，并能利用結論解決問題。

（三）教學實施

1.情境引入，問題準備

師：同學們，見過這樣的噴灌裝置（如圖3）嗎？

生：見過。

師：誰來給大家簡單介紹一下這種噴灌裝置是怎樣工作的？

生：那個噴嘴轉的時候，水就澆灌，噴嘴轉多少度，水就一直澆灌多少度。噴嘴澆過水的地方應該是個扇形。

師：很好，既然大家都見過類似的噴灌裝置，今天我們就來解決一個和噴灌有關的問題。

2.問題探究，自主發現

（1）初步感知扇形

師：某小區有一塊草坪（如圖4），現在B點處安裝一種噴灌裝置，噴頭可旋轉120°，最遠噴射距離為10米。哪些地方還需要人工澆灌，請用陰影部分表示出來？

師：誰來說說，你是怎樣找到圖中哪些地方是自動澆灌，哪些地方是需要人工澆灌的？

生：噴射距離為10米，就先在將圓規兩腳的距離量成AB那么長，然后以B點為圓心畫個大圓，圖中在圓里的部分是自動澆灌的，剩下的是人工澆灌的，就涂成陰影。

（2）理解扇形與圓的關系

師：你們能求出陰影部分的面積嗎？趕快把你的思路寫下來。

學生交流匯報。

生：陰影部分面積=梯形面積-扇形面積

師：你們是怎么求出扇形面積的？

生：扇形這個角是120°，是圓360°的1/3，所以扇形的面積就占所在圓的面積的1/3（如圖6）。

師：那大家說說扇形的面積與什么有關系？

教師出示半徑不同、圓心角相同的扇形和半徑相同、圓心角不同的扇形。

學生討論匯報。

（3）認識扇形

師：我們在解決問題的過程中，認識了新的圖形——扇形。誰來準確描述一下什么樣的圖形是扇形，或者說扇形有哪些特點？

學生匯報交流，認識各部分名稱。

教師板書：扇形、弧、半徑、圓心角。

3.觀察比較，聯系鞏固

師：請判斷，圖7中的陰影部分是不是扇形？

學生匯報總結。

師：求圖8扇形的面積。

圖8 扇形計算練習題目

生：扇形的圓心角是60°，占所在圓的1/6，所以這個扇形的面積是所在圓的1/6，所以扇形的面積=3.14×6×6÷6=18.84。

4.拓展提高，解決問題

師：你能求出圖9陰影部分的面積嗎？

生：用大扇形的面積減去小扇形的面積。或者大圓的面積減去小圓的面積再除以4。

5.課堂小結，感知收獲

師：同學們，這堂課大家覺得有什么收獲？

生：我們知道了什么是扇形，扇形是由頂點在圓心的角的兩條半徑和這兩條半徑所截一段圓弧圍成的圖形。扇形有半徑、圓心角和弧。

生：我們還知道了利用扇形的圓心角占所在大圓的幾分之幾來求扇形的面積。

師：很好，大家收獲了這些知識，還有其他的嗎？我們是怎么研究扇形的？

生：我們就是先畫圖，然后比較扇形和所在圓的圓心角，在求扇形面積的時候，都去找圓心角，看它和所在圓的關系。

師：總結一下同學們剛剛說的，在今天的扇形的研究過程中，動手畫圖是我們的第一步，我們確實經歷了猜想、探究、驗證、結論、應用的過程，而且在這個過程中，我們不斷地聯系舊知識解決遇到的問題，把不會的知識轉化成之前學習或研究過的知識。那么今天這節課大家學習的開心嗎？

生：開心！因為知識都是我們自己研究出來的！

師：數學知識很有趣，他們之間的聯系很有規律，只要去探究，就會有發現。

（四）教學評價

本節課的教學評價以教學目標的落實為依據進行設計和實施，主要從以下三個方面展開。

探究觀察：教師在授課過程中觀察學生的反應，適當提示、啟發引導學生探究思考，關注學困生的發展，對學生在探究過程中出現的錯誤給予正確評價與引導。學生利用圓規畫圖，找出扇形和所在圓之間的關系。

練習拓展：在學生做練習拓展題目時，巡視指導， 對解題有困難的學生適當點撥。教師巧妙利用學生的現場生成，捕捉到良好的教學資源為我所用。學生積極主動地投入學習，遇到困難聽取他人意見或交流合作解決問題，對新知進行再思考、再創造。

課后交流：教師選擇不同層次的學生進行課后交流， 了解學生對本節課教學內容的掌握情況，了解學生對推理、化歸等數學思想的體悟和收獲。

思維能力教學一學年前后測對比試驗結果

選取北京市門頭溝區四所小學的四個班級參與實驗，兩個為實驗班，兩個為對照班。實驗班實施為期一年的數學思維能力教學，對照班按照常規講授式進行教學。

為排除前測中各班級的瑞文成績差異性對結果的影響，使用單因素方差分析對前測與后測的瑞文成績進行處理。首先使用K-S檢驗驗證實驗班與對照班成績的正態分布性，結果如表1所示。

實驗班與對照班的瑞文成績的K-S檢驗結果表明，這四組成績數據符合正態分布性（Sig>0.05），且這四組成績間沒有關系，相互獨立，可以使用單因素方差分析。

對瑞文量表數據進行單因素方差分析結果如表2所示。

單因素方差分析結果表明：前測時，實驗班與對照班的瑞文成績間不存在顯著性差異（F=0.96， Sig>0.05）；經過一個學年的數學思維能力教學后，實驗班與對照班的瑞文成績存在顯著性差異（F=2.63， Sig<0.05）。

雖然實驗班與對照班前測成績在差異，但使用單因素方差分析可排除這種差異性的影響，分析結果表明前測兩組數據不存在顯著性差異。后測時實驗班成績高于對照班，且達到顯著性差異，說明經過處理因素（即思維能力教學）的影響，學生的推理能力比常規的講授式教學取得更好的發展。

總結與反思

思維能力是通過學生體驗成功解決問題的過程獲得的，解決什么樣的問題就會產生什么樣的能力，但前提一定是學生自己體驗解決問題的過程，而不是理解解決問題的過程。因此，思維能力教學的關鍵是：設計相應的問題或活動，然后讓學生體驗解決過程。根據具體的教學內容設計不同的思維能力目標，根據不同的思維能力目標設計具體的問題。課堂教學是與學生一起解決問題，通過自身的行為方式積極影響學生的行為，通過鼓勵增強學生克服困難的信心，最終促進學生充分體驗解決問題的過程，提高思維能力教學的效果。

當學生思考一定時間仍沒解決問題時，就要啟發促進學生思維。啟發的目的是讓學生完整地經歷解決問題的過程，體驗解決問題的成就感和愉悅感。啟發實際上起著一種替代作用，替代學生解決問題的一部分工作，因此，啟發所代替學生的工作越少越好，盡量讓學生自己多思考，自己發現解決方案。例如，學生在匯報“陰影部分面積=梯形面積-扇形面積”以后，教師只是提問“你們怎么求出扇形面積的”，然后由學生小組上前匯報，并由學生其他學生對匯報的結果展開質詢，引發學生的深度思考。又如，在總結扇形的定義與基本特點時，教師也只是讓學生用自己的語言凝練出最準確的扇形的定義，在一次次的質詢和學生的修正過程中，使學生深刻地掌握扇形的概念。這種啟發才能使學生完整地體驗問題解決的過程，包括經歷困難、愉悅等的“酸甜苦辣”。

注：本文系國家社會科學基金“十一五”規劃課題《課堂交互產生學習結果的認知模型與仿真研究》（課題批準號BCA100023）階段性成果。

（作者單位：黑龍江牡丹江師范學院工學院 北京師范大學教育技術學院 北京市門頭溝區大裕第二小學）