妙用《幾何畫板》 “直觀”數學課堂

王輝

職高學生普遍存在基礎知識不扎實、自信心不足、性格散漫、厭學等問題，導致自暴自棄，情緒低落，對學習喪失信心，但對一些自己感興趣的事情，參與意識極強，也表現出很強的好勝心。如何投其所好，以看得見、摸得著的事例來激發他們的學習興趣，提高他們的參與意識，引導他們正確地對待學習呢？

《幾何畫板》繪制的圖形非常直觀，它能構造出各種各樣的幾何圖形，將一個“活”的幾何圖形展現在學生面前，使學生一目了然，具有一般的實物教具難以達到的妙用。因此，巧妙地運用《幾何畫板》可以使原本呆板的數學課堂變得有趣，形成生動、活潑的課堂教學氛圍。同時，還可以通過對直觀圖形的觀察提高學生的空間觀念、空間想象力和抽象思維能力；學生自己動手操作時，更可以提升他們對圖形的理解及繪圖能力。本文試圖通過若干教學實例對如何運用《幾何畫板》激活數學課堂談一點看法。

立足直觀 制造懸念

需求是人的一切行為的原動力。要激發學生的學習動機就要從激發學生的學習需求入手。如果教師能準確抓住學生的心理特點，精心設計懸念，就能激發起學生的學習動機。

例如，在講述橢圓定義的時候，我先讓學生回想日常生活中所出現的橢圓，并啟發他們思考怎樣才能形成橢圓，接著利用《幾何畫板》，向學生提供形象的動態畫面（如圖1）。

說明出現這個圖形的因素是：=定長。接著展示如下兩個動畫（如圖2、圖3）。

學生通過觀察、思考，歸納出要形成橢圓，定長是有條件的，即。通過這樣的設計，運用直觀的圖像，在給學生造成懸念的同時，又可以使其在圖形的形成過程中得出結論。明確了原先的迷惑，增強了學生學習的興趣。這時教師的角色不再是學生的保姆，學生也不再是接受知識的容器，更不再是目睹教師口干舌燥的“觀眾”，而是積極參與探索的“主角”。

形象直觀 啟發引導

心理學研究表明，變動的事物、圖形易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的印象。數學課堂教學中如果能準確、動態地展現幾何圖形，揭示幾何中的變化規律，對學生學好數學有著十分重要的意義。

例如，在講述棱錐的體積公式前，我先讓學生回顧三角形面積公式及導出方法，接著利用《幾何畫板》向學生提供形象的動態畫面（如圖4），同學生一起回顧推導過程：（1）將三角形補成平行四邊形，從而把三角形的面積轉化成平行四邊形面積；（2）將平行四邊形又割補成矩形，從而將問題轉化為求矩形的面積。

在觀察畫面后，讓學生明確“在解決數學問題過程中，我們經常化陌生為熟悉，化求知為已知”的化歸思想方法。接下來，我便提出問題：能否用類似的方法來求解三棱錐的體積呢？給學生以啟發，激發學生的求知欲。這時，可以在屏幕上顯示三棱錐的體積由三棱柱體積轉化的割補過程（如圖5），從棱柱A′B′C′-ABC分割出來三個錐體C-A′AB，C-A′B′B，A-B′C′C，讓它們的頂點和面積相等的兩個底面繪以同一色彩。隨著“合并—移開—合并”的反復動作，不難得出三個錐體的體積是相等的，從而使學生自然而然地得出所要論證的結論，讓他們產生成就感，學習興趣盎然。

構造直觀 展現思維

數學理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動、直觀的形象展現于人們面前，以幫助其理解、記憶抽象的數學內容。數學課堂教學的成敗在于能否充分展現數學的思維過程，并且讓這種過程能為學生所理解、接受。《幾何畫板》能夠使靜態變為動態、抽象變為具象，有利于抽象思維能力的培養。

例如，在講授“球的體積公式”前，可以運用《幾何畫板》給學生做一個演示實驗。把一個半徑為R的半球和一個底面半徑和高均為R的圓錐放入一個底面半徑和高都為R的圓柱內（如圖6）。此時，柱體內扣除掉圓錐部分的幾何體，當用一個平行于底面的平面去截時，半球的截面面積和幾何體的截面面積（圓環）會怎么樣呢？

運用畫板的測量計算和動畫功能，計算出兩個截面面積并記錄，發現兩截面面積處處相等，由祖暅原理可知，半球的體積與幾何體的體積是相等的。引導學生進一步觀察：

（1）當把一個半徑為R的半球和一個底面半徑和高均為R的圓錐放入一個底面半徑和高都為R的圓柱內時，必有：半球?？梢姡肭虻捏w積處于圓錐和圓柱之間。

（2）設底面所在的平面為α面，半球的球心為O，平面β//平面α，截得半球上的截面圓O1半徑為r，，則S截面圓= πr2=πR2-πL2（如圖7）。

（3）將半球、圓錐放入圓柱后，用平面β去截，扣除掉圓錐的截面圓，剩下的部分，即將底面半徑和高均為R的圓柱挖去一個底面和高均為R的圓錐，圓柱體內被平面β所截得的一個圓環，其內圓半徑即為L，也就是：S圓環= πR2-πL2。這樣就有：S截面圓=S圓環 。由于β面是平行于α面的任意平面，所以，半球的體積與該幾何體的體積相等，即，從而可以得出球的體積為：V球= πR3。

從上面可以看出，運用《幾何畫板》進行課堂教學的神奇能力，是其他方式無法取代的。在課堂教學中，我們通過“實驗”讓學生觀察理解、探索研究、發現問題的規律，給學生以一個建構知識、展開思維活動的空間，讓每一位學生都參與到發現、探索的過程中，進而理解知識產生和發展的過程，形成自己的經驗，達到讓學生“做數學”的目的，這才是數學課堂的真諦。

運動直觀 揭示規律

在立體幾何中，如何對學生傳授數形結合的思想方法以及運用數形結合的思想進行解題，是一個難點。而運用《幾何畫板》則可以使圖形“動”起來，讓學生觀察到數與形的聯系，在動中找靜，使形與數有機結合，突破難點。

例如，在講授翻折問題時，有許多學生不知該如何畫圖，即便畫出了直觀圖，但圖形卻又缺乏空間感，更有學生不知該如何在二維平面內去表現空間三維圖形以方便解題。究其原因，是由于在靜態的黑板上無法表現圖形的翻折過程，而且在翻折過程中的變化關系和不變關系不能動態而且準確地表現出來。因此，學生在學習過程中也只能依靠想象，這就給他們的學習造成了一定的困難，往往還會使部分學生失去學習興趣。

有這樣一道題：將一個長和寬分別是10和8的矩形ABCD沿一條對角線AC折成一個直二面角，求BC的長。我們可以在《幾何畫板》中建立起一個平面直角坐標系，把平面圖形放到該坐標系中，同時，構造出可自由轉動的三維直角坐標系，然后對平面圖形進行翻折并讓它依托到三維坐標系中。這樣，經過預先制作好的 “水平位置”“平面位置”“正面位置”“翻折變化”“復原變化”等按鈕進行空間圖形的變化、旋轉，使學生充分感受到折疊圖形在空間中的各種位置關系，讓他們將數量與圖形結合起來，從而清楚地看到在翻折過程中哪些是不變量，哪些是變量。這對培養學生的空間想象能力及解題思路的形成無疑是有幫助的（如圖8）。

顯然，在課堂教學中運用《幾何畫板》展現出在二維平面內將平面圖形變化為空間立體圖形以及翻折的全過程，揭示出圖形與數量間的變化規律是有著明顯的優勢的。

突破直觀 提高能力

在數學課堂中，有許多知識是與圖形、圖像分不開的，但不管是借助于直觀模型還是徒手描繪，最終必然要回到抽象思維中來。這就需要靠學生自己作圖并進行分析。這對知識點的積累和應用都有比較高的要求，有的學生完成起來會覺得困難重重。在《幾何畫板》上作圖，可以直觀體現圖像中點、線、面，圖形中圖、數之間的聯系，縮短了學生知識積累的時間，提高了效率，增進了能力。

例如，在講述到空間四邊形時，由于剛學習立體幾何內容不久，學生的空間想象能力不強，所以總分不清空間四邊形與平面四邊形有何區別。這時我們可以在《幾何畫板》中畫一個四邊形，用鼠標拖動讓它旋轉，從不同的角度觀察，找出空間四邊形與平面四邊形的區別，并選擇出在什么情況下畫出的圖形立體感最強（如圖9）。

圖9

對于數學學科來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實。但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。正如蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！薄稁缀萎嫲濉氛且云鋸姶蟮膱D形和圖像功能、方便的動畫功能，將抽象的思維視覺化的理想工具。運用《幾何畫板》更能在較短的時間內豐富學生的知識積累， 培養學生的想象能力、思維能力和創新能力。同時，《幾何畫板》也為數學教師的備課增添了新的含義，作為數學教師，學好、用好《幾何畫板》也是新時期對我們提出的新要求。

（作者單位：浙江仙居職業中等專業學校）