可測(cè)集的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

可測(cè)集的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用

瑪哈提·胡斯曼

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054）

實(shí)變函數(shù)論是微積分的進(jìn)步，其目的是想克服黎曼所建立微積分學(xué)存在的缺點(diǎn)，使得微積分的運(yùn)算更對(duì)稱(chēng)更完美。可測(cè)集是實(shí)變函數(shù)中基本而重要的概念之一。內(nèi)外測(cè)度相等的有界點(diǎn)集E稱(chēng)為勒貝格可測(cè)集（簡(jiǎn)稱(chēng)可測(cè)集）。文章討論可測(cè)集定義的等價(jià)性，性質(zhì)以及可測(cè)集與開(kāi)集，閉集的關(guān)系，用開(kāi)集、閉集，刻畫(huà)出開(kāi)集可以從外部逼近，可測(cè)集、閉集可以從內(nèi)部逼近。

可測(cè)集；開(kāi)集；閉集

實(shí)變函數(shù)論中心問(wèn)題是建立勒貝格積分理論。數(shù)學(xué)分析中考慮函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上黎曼積分時(shí)，對(duì)區(qū)間進(jìn)行分劃T并作積分和數(shù)，f（ξi）△xi即當(dāng)分劃的細(xì)度｜｜T｜｜→0時(shí)，積分和數(shù)的極限存在且與分化的方法及介點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān)，就必須要求函數(shù)f在這些小區(qū)間上的函數(shù)值變動(dòng)不大。這表明黎曼可積函數(shù)類(lèi)太窄，加之黎曼積分存在缺陷。

若交換積分與極限運(yùn)算的條件太苛刻，可積函數(shù)類(lèi)的充要條件沒(méi)有解決，從而求原函數(shù)的問(wèn)題得不到徹底解決。近代物理與概率論的發(fā)展要求改造黎曼積分，引進(jìn)應(yīng)用更靈活的新積分。考慮不是分劃函數(shù)f（x）的定義域，而且對(duì)函數(shù)的值域R（f）=f（［a，b］）做某種分劃［2］，這樣便能保證函數(shù)在每個(gè)［yi-1，yi］上值的變化不大，記作Εi=［x：x∈［a，b］，yi-1≤f（x）＜yi］則Εi不一定是區(qū)間。則需要通過(guò)對(duì)Εi進(jìn)行某種度量，即必須推廣區(qū)間長(zhǎng)度概念，對(duì)一般的點(diǎn)集建立一種合理的度量，即推廣長(zhǎng)度概念，又必須保留長(zhǎng)度概念的基本性質(zhì)，這就是集合的測(cè)度。……