辨析問題本質 活化解題思維
——一道橢圓問題的課堂探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學 陳寶霞

辨析問題本質 活化解題思維
——一道橢圓問題的課堂探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學 陳寶霞

一、問題展示

（1）略.

（2）是否存在直線l，使得點B在以線段AC為直徑的圓上？若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

二、課堂實錄

師：圓錐曲線問題是高考重點及難點之一，尋找恰當的解題思路是問題順利求解的關鍵，高考考查的題型可謂?？汲Ｐ?，題型雖然千變萬化，但總有其規律可循，請同學們思考一下解答圓錐曲線問題的通用方法是什么？

生1：高考對圓錐曲線問題的考查大多以直線與圓錐曲線相交為背景，通用的方法是設出直線的斜率k，得出直線方程，設出交點坐標，將直線方程與曲線方程聯立，代入消元后得到含x的一元二次方程.因直線與曲線有兩個交點，故方程有兩根，即判別式大于0，結合根與系數的關系，得出兩根之和、兩根之積關于k的關系式.

師：條件清晰，思維嚴謹.還有沒有細節需要補充？

生2：在引入直線方程之前，應對直線斜率存在與否進行分類討論；直線方程的引入因所給的條件不同，除了可設為y=kx+b外，有時還可將方程設為x=my+n，這樣可簡化計算；所給的曲線如為雙曲線，則代入消元后，得到一元二次方程，其二次項系數不能為0等.

師：那么此題如何處理呢？請思考.

生3：判斷點B是否在以AC為直徑的圓上，我們通常的做法是判斷∠ACB是否可能為直角，即BA與BC是否垂直，而對于垂直問題常用的做法是判斷kBC·kBA是否等于-1，或是否為0，再結合上述通法解答問題.

師：具體如何操作？

生3：（2）由題意可設直線l的方程為x=my-1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

……

師：我們在解答解析幾何題時經常會碰到這樣的情況，往往能找到某種解題思路，卻因為運算量過大而不得不放棄自己的解答，或者解題思路“差之毫厘”，使得問題的解答“謬以千里”.大家能順著生3的思路進行下去嗎？

生4：我覺得生3的思路可以繼續下去，但需要轉變一下，在△ABC中，欲判斷∠ABC是否為直角，可通過判斷其他角，如∠ACB是鈍角還是銳角，若其為鈍角，則∠ABC不可能為直角，則這樣的直線不存在，若∠ACB為銳角，則可能存在使得∠ABC為直角的直線.

所以點B不在以AC為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點B在以AC為直徑的圓上.

圖1

師：此解法從我們熟悉的問題的解決方法入手，既落實了通性通法，又不拘泥于通法的形式.是否還有其他解法？

生5：因為直線AB經過點F1（-1，0），故向量可用向量來代換.

由題意知C（-2，0），F1（-1，0），設B（x0，y0）（-2＜x0＜ 2），則

師：此解法可謂一針見血地揭示了問題的本質所在，打破常規的解題思路，使問題得以圓滿解決.數學通法是解決某一類數學問題時通用的解題方法，同學們在學習中要善于根據不同的題型，歸納出通用的解題方法，但在具體應用其解題時，要不拘泥于通法的形式，要量題而行.

三、變式演練

變式：如圖2，焦點在x軸上的橢圓C過點（0，1），且離心率為Q為橢圓C的左頂點.

（1）求橢圓C的標準方程.

圖2

（2）由（1）得Q（-2，0）.設A（x1，y1）、B（x2，y2）.

當直線l與x軸不垂直時，由題意可設直線AB的方程為y=k

由消去y得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0.

所以

假設存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則|QA|= |QB|.取AB的中點M，連接QM，則QM⊥AB.

所以當直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形.

評注：在（2）的求解中，易想到的一種思路是：設A（x1，y1）、B（x2，y2），QA的中點D，利用kBD·kAQ是否為-1來判斷|BQ|=|BA|能否成立.再利用是否為0，來判斷∠ABQ是否為直角，進而陷入解題誤區.本題借助生4的解題思想，可將問題求解.

新課程下高中數學的教學，要求教師不僅要有啟發研究、誘發才能的能力，而且要能通過深入挖掘知識，培養學生提出問題、解決問題的能力.教師在課堂上要把握問題性原則，問題的設計要注意新穎性和層次性，盡力營造民主、開放的課堂氛圍，學生與學生、教師與學生之間實現觀點的多向交流；同時要把握學生主體性原則，為學生提供在課堂上獨立活動的時間和空間.F