法出自然，思揭本源
——2014年北京市高考第19題賞析

☉北京市豐臺區第二中學 孫泰 鄭新春

法出自然，思揭本源
——2014年北京市高考第19題賞析

☉北京市豐臺區第二中學 孫泰 鄭新春

2014年高考北京試卷理科第19題，保持了北京卷簡捷、優美的一貫風格，讀罷研磨，發現該題入口平實、思路寬泛、底蘊深厚，緊扣解析幾何的思想精髓，堪稱精品之作.賞析第（Ⅱ）問的解法，探尋一般結論，進而類比推廣，無疑對激發學習興趣、提升解題能力、豐厚解析幾何教學資源大有裨益.

一、原題呈現

題目已知橢圓C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關系，并證明你的結論.

二、解法研究

解析幾何較歐氏幾何，最大的優勢是把“運動變化引進了數學”，使我們實現了“用點的坐標刻畫運動”這一基本代數手段研究幾何問題的設想.而本題的解決過程淋漓盡致地展示了這一優勢.

觀察第（Ⅱ）問，如圖1，直線AB是一條動直線，研究該動直線與圓x2+y2=2的位置關系，實則判斷原點到直線AB的距離與√2的大小，而原點到直線的距離可由“點到直線的距離公式”或“等面積法”獲得，這是解決問題的基本思路.在我們追溯直線AB因何而動的過程中，自然產生了三類解題策略，展現出多種平實之入口（僅以入口1為例，闡述完整的解題過程）.

圖1

1.視點A為主動點

從題設看，點A在橢圓C上的運動是主動的，而點B是受條件“OA⊥OB”的制約，在直線y=2上被動地運動.所以，我們設參數刻畫點A的運動，并用該參數表示點B的坐標，進而得到直線AB的方程或OA、OB及AB之長，即成為自然的選擇.

入口1：設點A（x0，y0），由題意知x0≠0，由OA⊥OB，

解法1：利用點到直線的距離公式解題.

解法2：利用等面積法解題.

入口4：設直線OA的斜率為k，則直線OA的方程為y= kx，代入橢圓C的方程，解得

當k=0時，點A，B的坐標分別為（2，0），（0，2），圓心O到直線AB的距離

2.視點B為主動點

就本題而言，我們不受題設干擾，轉換角度，可以發現，視點B在直線y=2上主動運動，完全不悖題意，異曲同工，還有運算更簡的收獲.

入口5：設點B（m，2），當m=0時，由OA⊥OB得點A的坐標為（-2，0）或（2，0），易得圓心O到直線AB的距離為，此時直線AB與圓x2+y2=2相切；當m≠0時，由OA⊥ OB得OA的方程為

入口7：當直線OB的斜率k不存在時，點B坐標為（0，2），點A坐標為（2，0）或（-2，0），圓心到直線AB的距離d=，結論成立.

當直線OB的斜率k存在時，直線OB、OA的方程分別為y=kx（顯然k≠0）（下面求點A、B的坐標，建立直線AB的方程，與解法1類似，或求OA、OB的長與解法2類似）

3.淡化點A、B的主從地位

研究題設，發現點A、B被條件“OA⊥OB”一肩挑起，這又為我們淡化它們的主從地位，產生如下解法提供了方便.

入口8：設點A、B的坐標分別為（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.因為OA⊥OB，所以，即tx0+2y0=0，解得.余下同解法1.

入口9：令OA=r1，OB=r2，圓心O到直線AB的距離為d，則點A的坐標為（r1cosθ，r1sinθ），點B的坐標為，根據點A、B分別在橢圓C和直線y=2上，故有此同解法2，不過要得需要對解題過程有一定的前瞻意識.

三、從合情推理到演繹證明

解罷本題，筆者被它簡捷優美的結構和豐富多彩的入口深深震撼，不禁捫心發問，如此精妙的問題是天成偶得還是內含玄機？高考命題的源與流是什么？我們在將題中涉及的曲線一般化，一探究竟的過程中，竟得如下一系列令人興奮的命題.

1.從特殊到一般

從命題1出發，變化不同的思維角度，可得如下推論.

（1）從度量角度得推論1.

注：2014年北京市高考理科第19題顯然是此命題的特殊情況.

（2）逆向思考，得推論2和推論3.

2.類比推廣

研究至此，筆者對能否把上述結論中的直線、或者圓、甚至橢圓分別換成其他曲線，相應結論是否成立，發生了鍥而不舍的興趣，反復嘗試、研磨，終得正果.

（1）若點B的軌跡由直線變換為其他曲線

選特殊的位置觀察，對于圓x2+y2=m2，當OA是橢圓的長半軸時，AB與圓相切交y軸于點；同理，當OA是橢圓的短半軸時，推測點B所在曲線方程為，遂得命題2.

證明：令OA=r1，OB=r2，圓心O到直線AB的距離為d，則點A的坐標為（r1cosθ，r1sinθ），點B的坐標為由點A在橢圓C1上，點B在曲線C2上得因此圓心O到直線AB的距離=m.所以直線AB與圓x2+y2=m2相切.

注：當m=b得到2014年北京高考理科第19題的推廣命題1；當得到2009年山東高考理科第22題的推廣，至此發現兩道高考試題“同根同源”.當m＜b時，曲線C2為橢圓，橢圓、橢圓和圓三圓相伴；當b＜m＜a時，曲線C2為雙曲線，雙曲線、橢圓和圓珠聯璧合.

（2）點A的軌跡由橢圓變換為其他曲線.

命題4已知點A在拋物線C：y2=2px（p＞0）上，點B在直線上，設O為原點，且OA⊥OB，則直線AB與圓相切.

（3）與直線AB相切的曲線由圓變換為其他曲線.

=1（0＜m＜a）上，點B在曲線上，設O為原點，直線OA、OB的斜率分別為則直線AB的包絡曲線C2的方程

四、結束語

面對當今高考幾近統一的標準，用“棋譜定式”般的演繹推理來解決“成型”的試題，已成為我們的“強項”，“高效數學課堂”也常被誤讀為“速解問題”的代名詞，學生很少嘗試數學研究的過程，很難體會到數學在發現、類比、歸納、證明過程中的思維之美，更體驗不到創造的激情，這樣的教學，很難培養出善于提出問題和解決問題的創新人才.數學先哲畢達哥拉斯說：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么”，張飴慈教授、章建躍先生分別著文1、文2告誡我們一線的教師要發揮數學內在的力量，大數學家高斯說出數學學習的真境界：“給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷的學習；不是已有的東西，而是不斷的獲取；不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登.”所以，挖掘教學“礦點”，探索過程與結論并重的數學學習方式，是我們工作的重要目標.站在長遠的角度，我們甚至可以說：結論可以無用，過程斷然無價.

最后，誠摯感謝北京市數學特級教師連春興老師的幫助.

1.張飴慈.解數學題不應是公式、規則的演繹游戲［J］.數學通報，2010（6）.

2.章建躍.發揮數學的內在力量為學生謀求長期利益［J］.數學通報，2013（2）.FH