例析高中數學存在性問題與恒成立問題解法

石超仙

【摘要】高中數學中存在性問題與恒成立問題是高考考查的熱點，重點，題目往往相似，解法卻不盡相同，是學生學習的難點，是高三復習的易混點。一輪復習，在回歸教材的基礎上，通過例題分析和習題評講教師在注重通性通法的同時，還要注意對典型題型有效歸納對比，一題多解，一題多變，培養學生思辨能力，讓學生形成快，準，狠的破題解題能力，提升高三數學課堂復習的實效性。

【關鍵詞】高中數學 問題 解析方法

【中圖分類號】G633.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）02-0225-02

以下為筆者在課堂上就一道例題做的變式和推進：

例題：若函數f（x）=x2+2ax+3≥0在x∈[1，2]恒成立，求實數а的取值范圍。（答案：）

解法一：直接討論函數f（x）在[1，2]上的最小值，由f（x）min≥0求解；

解法二：通過將不等式x2+2ax+3≥0，分離變形為對x∈[1，2]恒成立，問題轉化為a≥h（x）max，（其中

對該例題兩種解法進行對比，實質都是求函數的最值，但顯然解法二更容易些。接著教師可以再進行如下變式：

變式一：若函數f（x）=x2+2ax+3≥0（a≤0）在x∈[-1，2]上恒成立，求實數а的取值范圍。（答案： ）

變式二：若函數f（x）=x2+2ax+3≥0在a∈[-1，2]上恒成立，求實數x的取值范圍。（答案：x≤3或x≥-1）

變式三：已知不等式當時恒成立，求實數а的取值范圍。（答案： ）

通過變式一，學生能更清晰的辨析分離參數法和函數最值法，以及適用前提，通過變式二，學生就能主動接受變更主元法了。通過變式三，學生更能體會函數圖像法的精巧。

至此，教師可以布置以下一些題目給學生完成。

練習1. 已知，且atf（2t）+mf（t）≥0對t∈[1，2]恒成立，則實數m的取值范圍為------------。（答案：m≥-1-a2）

練習2.已知函數若對于任意的x∈（0，+∞）都有求實數k的取值范圍. （答案： ）

練習3.設函數為實數，已知 對任意a∈[0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍. （答案：x≤0或 x≥2）

練習4. 若不等式，對于任意的 都成立，求實數a的取值范圍。（答案： ）

接下來，教師還可以進一步推進，指導學生完成對恒成立與存在性問題題型歸類整理。

（一）一個自變量的不等式恒成立與能成立，恰成立問題，轉化為函數最值不等式關系以及不等式解集

例1.已知函數f（x）=8x2+16x-k，其中k為實數。

（1）若對使f（x）≥0恒成立，求實數k的取值范圍。（答案：k≤0 ）

（2）若使f（x0）≥0能成立，求實數k的取值范圍。（答案：k ≤15 ）

（3）當x∈[-3，1]時，恰有f（x）≤0成立，求實數k的值。（答案：k=3 ）

方法總結：

，均有f（x）>A恒成立，則f（x）min>A；

均有f（x）

，有f（x0）>A能成立，則f（x）max>A；

有f（x0）

練習1.已知函數f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k為實數。

（1）若對，f（x）≥g（x）恒成立，求實數k的取值范圍。（答案：k≤-7 ）

（2）若，有f（x0）≥g（x0）能成立，求實數k的取值范圍。（答案：k≤45 ）

練習2.已知函數的定義域為（-∞，1]，求實數a的值。（答案： ）

（二）兩個自變量的任意性與存在性問題之方程問題，轉化為兩個函數的值域關系

例題2.已知函數f（x）=2k2x+3k.x∈[0，1]，函數g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5.x∈[-1，0]，當k=2時，對任意的x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立？（答案：存在）

變式題1. 已知函數f（x）=2k2x+3k.x∈[0，1]，函數g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5.x∈[-1，0]，

（1）對任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立，求實數k的取值范圍。（答案： ）

（2）存在x1∈[0，1]，x2∈[-0，1]，使g（x2）=f（x1）成立，求實數k的取值范圍。

（答案：）

方法總結：

，使f（x1）=g（x2）成立，則f（x）在D上的值域 在E上的值域。

，使f（x1）=g（x2）成立，則f（x）在D上的值域 在E上的值域。≠Φ。

此處最好用補集思想求解。

（三） 兩個自變量的任意性與存在性問題之不等式問題，轉化為兩個函數的最值比較

例題3.已知函數f（x）=x2+2x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k為實數。

（1）若對，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數k的取值范圍。

此問等價于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤-11）

（2）若對，不等式f（x1）≥g（x2）成立，求實數k的取值范圍。

此問等價于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤2 ）

（3）若，不等式f（x1）≥g（x2）成立，求實數k的取值范圍。

此問等價于：x1，x2∈[-3，3]，f（x1）min≥g（x2）max。（答案：k≤36 ）

練習3.已知函數，其中m為實數，

（1）若對，都有f（x）≤g（x）恒成立，求實數m的取值范圍. （答案：）

（2）若，使f（x）≤g（x）成立，求實數m的取值范圍. （答案：）

（3）若對，使f（x）≤g（x）恒成立，求實數m的取值范圍. （答案：m≥39）

（4）若對，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實數m的取值范圍. （答案：m≥3）

（5）若，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實數m的取值范圍. （答案：m≥-22）

（6）若對，方程f（x1）=g（x2）恒有解，求實數m的取值范圍. （答案：-22≤m≤39）

（7）若對，總使方程f（x1）=g（x2）有解，求實數m的取值范圍. （答案：3≤m≤14）

在教學初期，勢必會有部分學生呈現出迷茫，困惑，混淆的狀態，但是通過反復的分析，思考，辨析，內化，一段時間后，學生自然能有所領悟，進而全面分清。經過如上的歸類與整理，幫助學生克服了心理恐懼，增強了思辨能力，優化了轉化能力，提高了解題能力，同時也促進和升華了一輪函數復習，提升了高三數學復習的實效性。