挖掘數學教材中“看不見”的知識

王潔

引言

近些年來，教材改革轟轟烈烈，人們對新教材也是褒貶不一，議論紛紛。在新教材的實踐中，我們教師在體會著教材改革帶給自己創新發揮空間的同時，也明顯感覺到對知識點整體把握的困惑：總覺得要教的內容多而散，題目講得很多，但學生總是停留在模仿解題的水平上，只要習題中條件稍一變化就束手無策。其實，教材是一個壓縮的范例，教師要做的就是解壓縮，所以需要教師不斷探索、挖掘出教材的潛在知識。假如我們在教給學生基礎知識和基本技能的同時，能夠用這些具體內容背后貫穿的線索，即數學思想方法，來統領這些看似分散的知識點，讓學生真正領悟蘊含于數學問題探索中的數學思想方法，學生才能從學習中獲得獨立思考、解決問題的能力，這才是當今的數學課堂所想要達到的理想目標。

一、挖掘隱性知識的意義

（一）緊貼新課標，促進學生全面發展

《新課標》從知識技能、數學思考、問題解決、情感態度等四個方面具體闡述了課程總目標及學段目標，其中明確以發展學生的數學思維作為課程與教學的重點之一。可見，未來的小學數學教學將朝著這個方向發展，更重視學生的數學思維能力，而不僅僅停留在解決簡單數學問題的層面上。只有掌握了數學思想方法才能懂得從特殊到一般的推理，才能抓住問題的本質，避免個別范例的誤讀。

（二）豐富課堂教學，提升學生思想高度

由于隱性知識并沒有直接由教材給出，需要教師在把握整體教材的前提下提煉出來，因此這部分內容的知識將會在顯性知識教學的過程中無形的貫穿其中。挖掘數學教材中的隱性知識可以豐富原本單一的數學課堂，教師不再是照本宣讀，課堂教學內容應源于教材卻又高于教材。隱性知識的提出使得教師更注重學生數學思維能力的培養，為學生將來深入的學習數學知識打下了良好的思維基礎。

二、如何挖掘隱性知識

（一）要挖掘教材，先要吃透教材

有效的數學教學首先依賴于教師對教學內容的全面把握，沒有這種全面的把握和宏觀視野，教學只能如“風中的蒲公英”，隨意游走，沒有著陸的根。要挖掘教材中的隱性知識更是如此，不同于顯性知識，是教材中的一個個范例，隱性知識隱含于教材中，需要教師準確的把握和挖掘。否則，錯誤的挖掘不但不能提升學生數學思維，反而會擾亂正常的思維模式，適得其反。所以教師對所教教材系統的整體掌握情況，將對教學產生很大的影響。

（二）要挖掘教材，先要了解學生的認知水平

教材首先是學生的教材，學生數學學習的內容、結構、水平、進度等必須和教材同步，才能使得學生得到良好的發展。隱性知識亦是如此，教師應當在充分了解學生已有的知識結構和年齡特點后才能設計更符合學生認知水平的教學活動。根據小學生的認知發展過程一般由具象思維慢慢向抽象思維發展，小學數學的思想方法教學應遵循這一規律，從借助圖形來幫助教學到逐步抽象出數學理念貫穿數學知識體系。

三、隱性知識的實際應用

（一）把握隱性重點，觸類旁通

在教學時，我們經常遇到這樣的困惑，類似的題目我們已經講了很多遍了，為什么學生仍然沒有很好的掌握？下面我們來看一個例子。

例1：蘇教版小學數學五年級上冊《認識負數》一課，教材設計從溫度計導入，教學學生認識0以上的數稱為正數，0以下的數稱為負數，而0既不是正數也不是負數。如果教師的教學僅停留于此，只讓學生認識了正數和負數這兩個相反的量，那么學生是不能領會本節課的重點的。本節課的重點實際上是0這個臨界點，那么是不是所有的情況都以0為臨界呢？顯然不是。教師可以補充：五（8）班第一單元數學測試的平均分是89分，如果將96分記為+7分，那么83分應該記為多少分？由此引導學生發現在本題中89分才是臨界點。只有把握了一節課的重點，才能觸類旁通，學以致用。

（二）設計隱性練習，變中求本

完整的教學設計是離不開適量的練習的，合理的練習不但能穩固學生對新知的認識，還能及時發現學習中的問題。那么，到底怎樣的練習才是有效的呢？是排山倒海的題海？還是精簡有層次的變式練習？

例2：蘇教版小學數學四年級下冊《三角形的認識》一課，在教學三角形的高時，教材中只安排了銳角三角形的高（在三角形內）的教學。如果教師沒有挖掘其中隱含的知識——直角三角形的高（就是對應的直角邊）、鈍角三角形的高（可能在三角形外），學生很容易誤以為三角形的高就一定是在三角形里面的。這是一個錯誤的引導，必須及時發現并糾正，教師應分別設計銳角、直角、鈍角三角形的高的變式練習，變式練習可以有效區分本質屬性與非本質屬性，使學生真正掌握知識的本質（三角形的高是從一個頂點向它的對邊作出的垂線段），以不變應萬變。

（三）、補充隱性知識，盡善盡美

在教學過程中不難發現，新教材在充分考慮學生的認知發展基礎之上做出了相應的調整，更重視數學知識與知識之間的聯系以及數學與生活實際的聯系。這雖然是一個好的發展方向，但也存在不完善的地方。如下面的例子：

例3：蘇教版小學數學五年級下冊《方程（一）》一課，新教材設計的目的是讓學生通過天平兩邊同時加或減去相同質量的物體后天平仍平衡來使學生理解方程兩邊同時加或減去一個數，方程仍然成立。可是這樣就遇到一個問題，如果未知數作為減數該怎么理解呢？如果還用天平來理解非但復雜，而且許多學生不能很好的掌握。那么這部分教材空缺的內容，就應該由教師挖掘并作出補充。當未知數作為減數時，可以直接用運算法則來做（減數=被減數-差）。這樣針對不同的方程，選擇合適的解方程方法才是教學的最終目的。

結論

1973年，美國著名心理學家麥克利蘭于提出“冰山理論”，數學知識也可以看作冰山模型。顯性知識是“冰山水面以上的部分”，但它只是冰山一角，在整個數學學習過程中起決定作用的是“冰山水面以下的部分”——隱性知識。我認為：學生只有把數學知識上升到數學思想方法，才能有效地提高數學修養，乃至學生的整體素質。布魯納提出：掌握基本數學思想和方法，能使數學更易于理解和更易于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的 “光明之路”。一個人一生中直接應用的數學知識可能并不多，但是理解和掌握數學思想方法，將會終生受益。

【作者單位：蘇州市相城區陸慕實驗小學 江蘇】