矩陣方程AX=B的自反解與反自反解及最佳逼近

王婧，劉喜富

（華東交通大學1.國際學院；2.理學院，江西南昌330013）

矩陣方程AX=B的自反解與反自反解及最佳逼近

王婧1，劉喜富2

（華東交通大學1.國際學院；2.理學院，江西南昌330013）

摘要：給定兩個廣義反射矩陣P，Q，通常對于矩陣方程AX=B關于P，Q的自反解和反自反解的研究大多是通過矩陣分解或廣義奇異值分解來進行的。采用廣義逆，建立該方程存在自反解和反自反解的充要條件以及解的一般表達式，并研究與之相關的矩陣最佳逼近問題。

關鍵詞：自反解；反自反解；矩陣方程；最佳逼近解

作通者訊簡作介者：劉喜富（1984—），男，講師，博士，研究方向為矩陣與數值代數。

本文用Cn×m表示所有n×m階復矩陣集合。對于矩陣ACn×n，其跡記為tr(A)。對于矩陣ACm×n，其共軛轉置矩陣、值域、F范數和M-P逆分別記為和A+。In表示n階單位矩陣。并記EA=I-AA+，FA=I-A+A。

由于關于方程（1）的一般解的研究已非常全面，故從上世紀70年代起，該方程的約束解的研究逐漸受到關注，這些約束主要包括：Hermitian、（半）正定、實部（半）正定、（反）自反、對稱、中心對稱等約束。約束矩陣方程問題在結構力學、固體力學、物理、地質、分子光譜學、電學、量子力學、結構設計、參數識別、自動控制等許多領域都具有重要應用。也正是由于約束解有著廣泛的應用，才推動著其理論研究的不斷完善。例如，Khatri和Mitra［1］對其Hermitian解和半正定解進行了研究；文獻［2-3］對實部半正定解和實部正定解做了系統研究；文獻［4］利用矩陣分解技術研究了該方程的P,Q的自反解與反自反解與最佳逼近問題；文獻［5］利用廣義奇異值分解討論了它的自反最小二乘與最佳逼近問題。對于方程AHXA=B的反自反解與最佳逼近問題，文獻［6-7］同樣利用廣義奇異值分解對此作了研究。

本文主要利用矩陣廣義逆理論重新研究以下兩個問題。

問題Ⅱ設問題I的解集SX非空，給定矩陣CCm×n，求SX，使

1　問題I的解

為了證明本文的結論，需要以下引理。

引理1［4］給定ACk×m，BCk×n，XCm×n為未知矩陣。則矩陣方程AX=B有解當且僅當r( ) A B =r(A)，并且此一般解可表示為

其中：V為適當階數的任意矩陣。

證明由于P為廣義反射矩陣，自然也是酉矩陣，根據廣義逆的性質有，所以。另外，再根據廣義逆的性質M+M=N+N當且僅當可得

另一方面

其中：X為方程AX=B和APX=BQ的公共解。

證明設X是AX=B和APX=BQ的公共解，易證AXr=B，且Xr=PXrQ，即Xr是方程AX=B的關于P、Q的自反解。

接下來，給出本文的主要結論。

同理可得如下結論。

2　問題Ⅱ的解

根據定理1和定理2的結論，本節將給出問題Ⅱ的最佳逼近解。在此之前，先證明下面關于矩陣范數的兩個結論。引理4PCm×m和QCn×n為廣義反射矩陣，設，則

證明由于F范數為酉不變范數，根據假設有

所以

于是，式（9）得證。同理，可得式（10）。證畢。

并且

證明設X為AX=B的自反解，根據定理2、引理4，則有

同理，可得如下結論。

并且

參考文獻：

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[5]肖慶豐,胡錫炎,張磊.矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近[J].純粹數學與應用數學, 2012,28(6):719-727.

[6]彭向陽,張磊,胡錫炎.矩陣方程AHXA=B的反Hermitian反自反解[J].曲阜師范大學學報, 2005,31(1):1-6.

[7]王艾紅.矩陣方程AHXA=B的反自反解及其最佳逼近[J].長沙大學學報, 2005,19(5):5-9.

（責任編輯姜紅貴）

Reflexive and Anti-reflexive Solutions to Matrix Equation AX=B and the Optimal Approximation

Wang Jing1, Liu Xifu2
(1. International School, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China; 2. School of Science, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

Abstract:Generally, the main methods to study the P,Q reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equa?tion AX=B are the decomposition of matrices and the generalized singular value decomposition of matrices. This paper studies the equation by using the generalized inverse and establishes conditions for the existence and repre?sentations of the reflexive and anti-reflexive solutions .Moreover, the optimal approximation solutions are also dis?cussed.

Key words:reflexive solution; anti-reflexive solution; matrix equation; optimal approximation

作者簡介：王婧（1986—），女，助教，碩士，研究方向為矩陣方程求解。

基金項目：國家自然科學基金項目(11461026)；江西省科技廳項目(20142BAB211010)

收稿日期：2014-12-28

文章編號：1005-0523（2015）03-0122-04

中圖分類號：O151.2

文獻標志碼：A