Nanda意義下模糊粗糙集的包含度及其生成

馬 茜，米洪海

(1.軍事交通學院基礎部，天津300161;2.北京師范大學珠海分校應用數學學院，廣東珠海519085)

包含度刻劃的是一集合被另一集合包含的程度的量，是包含關系的定量描述，它包容了“關系”的不確定性。包含度理論同模糊集理論相輔相成，成為研究不確定性問題的重要工具。不同的包含度的具體形式各有優劣，為了應用時能夠有更多模糊粗糙集的包含度的具體形式可供選擇，給出模糊粗糙集的包含度的生成方法很有意義［1－2］。本文給出了L－模糊集的包含度的性質，在此基礎上定義了Nanda意義下模糊粗糙集的包含度，利用所證的包含度的性質給出了模糊粗糙集包含度的生成方法，最后從另一角度通過構造某些函數進一步討論了強包含度的生成問題。

1 包含度的性質

定義1 設(L，≤)是非空偏序集，若映射D:L×L→［0，1］，對任意的 α，β，γ∈L 滿足:當 α≤β時，D(β/α)=1;當 α≤β≤γ 時，D(α/γ)≤D(α/β)，則稱D為L上的包含度函數，D(β/α)為α在β中的包含度。若當 α≤β≤γ 時，D(α/γ)≤D(α/β)∧D(β/γ)，則稱 D 為強包含度函數，D(β/α)為α在β中的強包含度。

定義 2［3］映射 T:［0，1］×［0，1］→［0，1］稱為三角模，如果對?a，b，c，d∈［0，1］滿足:T(a，1)=a;T(a，b)=T(b，a);T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c));T(a，b)≤T(c，d)(a≤c，b≤d)。若T(a，1)=a 改為 T(0，a)=a，稱 T 為反三角模，記為S。

定義3［4］L－模糊集為給定論域U上的一個映射U→L，其中(L，≤，＇)是一個帶有一元逆序對合算子＇的完備格。

設 U1，U2，…，Un為論域，U=U1× U2× … ×Un，FL(Ui)是 Ui上 L－模糊集組成的集合，i=1，，式中

定理1 設 D1、D2分別為 FL(U1)、FL(U2)上的(強)包含度，則 D(B/A)=TS(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))是 H2(U)上的(強)包含度，其中，TS 表示三角模或反三角模。

證 以反三角模為例，證強包含度時成立。

(1)顯然0≤D(B/A)≤1;

(2)A?B?A1?B1，A2?B2?D1(B1/A1)=1，D2(B2/A2)=1?D(B/A)=S(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))=1;

(3)A?B??Ai?Bi?Ci，i=1，2?

D1(A1/C1)≤ D1(A1/B1)∧ D1(B1/C1)，D2(A2/C2)≤D2(A2/B2)∧D2(B2/C2)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(A1/B1)，D2(A2/B2))=D(A/B)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(B1/C1)，D2(B2/C2))=D(B/C)

故 D(A/C)≤D(A/B)∧D(B/C)，故 D(B/A)是H2(U)上的強包含度。

定理1可用于遞推生成Hn(U)上的(強)包含度，由于三角模與反三角模有多種具體形式，從而可在Hn(U)上生成多種形式的(強)包含度。

推論1

式(1)—(4)都是Hn(U)上的(強)包含度，其中 N1、N2是{1，2，…，n}的任意兩個互補的子集。

定義4［3］設(U，≤1)和(V，≤2)是兩個非空偏序集，若映射 g:U→V 對?A1，A2∈U，當A1≤1A2時，有g(A1)≤2g(A2)，則稱g為保序映射。

定理 2［3］設 g 是(U，≤1)到(V，≤2)上的保序映射，D是(V，≤2)上的(強)包含度函數，則D＇(B/A)=D(g(B)/g(A))是(U，≤1)上的(強)包含度函數，其中A，B∈U。

2 模糊粗糙集的包含度

定義5［5］設 U為一非空集合，(L，≤)為一格，B為U上所有子集構成的布爾代數的子布爾代數，一粗糙集 X=(XL，XU)∈B2并且 XL?XU，則X中的一模糊粗糙集 A=(AL，AU)由一對映射μAL、μAU刻劃:

為了簡便，記X中模糊粗糙集全體構成的集合為 FR，粗糙集全體構成的集合為 R，μAL為AL(x)。

定理3 設 A=(AL，AU)∈FR，X=(XL，XU)∈R，則(FR(X)，?)為偏序集。

定義6 設FR(X)為X上模糊粗糙集組成的集合，若存在映射 DR:FR(X)×FR(X)→［0，1］，對?A=(AL，AU)，B=(BL，BU)，C=(CL，CU)∈FR(X)滿足:當 A?B 時，DR((BL，BU)/AL，AU)=1;當 A?B?C 時，DR((AL，AU)/(CL，CU))≤DR((AL，AU)/(BL，BU))。則稱 DR為 FR(X)上的包含度函數，DR((BL，BU)/(AL，AU))為 A 在 B 中的包含度。把 DR((BL，BU)/(AL，AU))簡記為DR(B/A)。

若當A?B?C時，DR(A/C)≤DR(A/B)∧DR(B/C)，則稱DR為FR(X)上的強包含度函數，DR(B/A)為A在B中的強包含度。

3 模糊粗糙集包含度的生成

設FR(X)為X上粗糙集組成的集合，定義映射 g:FR(X)→H2(U)，g((AL，AU))=AL× AU，易證g為保序映射。這樣就可利用(H2(U)，?)上的(強)包含度生成FR(X)上的(強)包含度。

定理4 設 FRL={AL|(AL，AU)∈FR(X)}，FRU={AU|(AL，AU)∈FR(X)}，DL、DU分別為FRL、FRU上的(強)包含度，則

證明由前面的定理容易推出。

下面拋開三角模與反三角模，從另一個角度通過構造某些函數由已知的(強)包含度生成新的(強)包含度。

定理5 設D是FR(X)上的強包含度，映射h:［0，1］2→［0，1］滿足 h(1，1)=1，h(a，b)關于a、b是非減函數，則D＇(B/A)=h(D(B/A)，D(ˉA/ˉB))是FR(X)上的強包含度函數。

證 (1)?A，B∈FR(X)，A?B?D(B/A)=1。

因 A?B?AL(x)≤BL(x)，?x∈XL，AU(x)≤BU(x)，?x∈XU;

同理可證 D＇(A/C)≤D＇(B/C)，故 D＇(A/C)≤D＇(B/C)∧D＇(A/B)，故 D＇是強包含度。

值得注意的是此定理當D為包含度時是推不出D＇為包含度的。

定理6 設 D1、D2是 FR(X)上的(強)包含度，映射 h:［0，1］2→［0，1］滿足:h(1，1)=1，h(a，b)關于 a，b 非減，則 D(B/A)=h(D1(B/A)，D2(B/A))是FR(X)上的(強)包含度函數。

證 以強包含度為例證。

(1)?A，B∈FR(X)，A?B?D1(B/A)=1，D2(B/A)=1?D(B/A)=h(1，1)=1;

(2)A?B?C?D1(A/C)≤D1(A/B)，D2(A/C)≤D2(A/B)?

h(D1(A/C)，D2(A/C))≤ h(D1(A/B)，D2(A/B))?D(A/C)≤D(A/B)。

同理可證 D(A/C)≤D(B/C)，故 D(A/C)≤D(B/C)∧D(A/B)，故 D是 FR(X)上的強包含度函數。

4 結語

包含度理論同模糊集理論相輔相成，成為研究不確定性問題的重要工具。不同的包含度的具體形式各有優劣，為了應用時能夠有更多的模糊粗糙集的包含度的具體形式可供選擇，給出模糊粗糙集的包含度的生成方法是有意義的。近年來，包含度在人工智能、模式識別等領域都有著廣泛的應用，而模糊粗糙集包含度理論的豐富又極大地促進了包含度的應用。

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