對“不等式的基本事實和基本性質”的教學探討

☉江蘇省西亭高級中學 王小亮

對“不等式的基本事實和基本性質”的教學探討

☉江蘇省西亭高級中學 王小亮

一、引言

章建躍老師在文1中指出“大家都知道等式、不等式的基本性質‘是什么’，但為什么把它們稱為‘基本性質’？為什么要研究它們？特別是，如何才能讓學生自己發現這些性質？課堂觀察發現，很少有老師把這些納入教學視野，實際上也鮮有老師去思考這些問題.”對“把‘能用基本性質解決問題’作為目標”的做法，章老師認為“這樣的教學缺乏必要的數學思想，是‘無根’的教學，學生學到的是沒有生長力的知識，‘學會思考’更是奢望.”此數言振聾發聵！筆者捫心自問，雖然對章老師的某些發問做過一些粗淺思考，但“五十步笑百步”不可能得到安慰，更不該“感覺良好”！筆者愿意把欠下的“功課”補上，于是有了下面一些思考.

二、探討

對“不等式的基本事實和基本性質”這節內容，選取“數學邏輯的連貫性和數學思想方法的一致性”、學習和研究的“基本套路”、問題解決的“出發點”這三個話題展開一些探討.

1.從“數學邏輯的連貫性和數學思想方法的一致性”角度分析

“不等式的基本事實和基本性質”在高中數學課程出現了兩次（有重復之嫌）：必修5和選修4-5.本文以人教A版教材為載體.

（1）先從“數學邏輯的連貫性”角度分析.

數學是研究數量關系和空間形式的科學，不等關系是數量關系的重要而基本的形式，具有大量豐富的實際背景，故不等式成為數學研究的對象是必然、自然的事；進而，確立研究的范圍和出發點，就像公理寓之于歐式幾何形式系統，實數的大小關系的“基本事實”成為不等式研究的“公理”；又如公理推演定理，從“基本事實”出發便可得“基本性質”；最后，“基本事實和基本性質”成為解決不等式問題的基本依據和出發點.

（2）再看“數學思想方法的一致性”.

不等式的“基本事實”用符號語言表示為：a＞b?ab＞0；a=b?a-b=0；a＜b?a-b＜0.

實質上是將兩個實數的大小比較等價轉化為它們的差與0的大小比較，或者是差的判號（正數、負數），其中關鍵是“作差”，是“運算”.

而不等式的6條基本性質中的（3）～（6）分別就是從加法、乘法、乘方、開方4種運算角度提出和建立的，正如章建躍老師在文1中所說：“不等式的基本性質保證了‘運算中的不變性’.所以，稱它們為‘基本性質’當之無愧，它們根源于運算，體現了運算中的不變性.”

所以，如教材（人教A版選修4-5P3）邊框提示語“研究實數的關系時聯系數的運算，是一種基本的數學思想”所表達的，“運算”就是貫穿于不等式基本事實和基本性質構建過程、保持良好前后一致性的數學思想方法.

另外，從更大的視野看，因為“代數的根源在于代數運算”，不等式作為代數系統中的一員，將運算作為它的研究的指導思想，自然很好地體現了“數學思想方法的一致性”.

2.在“基本套路”操作層面上思考

對“不等式的基本事實和基本性質”，可從研究整體思路的“基本套路”和研究具體方法的“基本套路”兩個層次來探討.

文2認為：“每面對一個數學新對象，如果都能引導學生按‘背景—定義—表示—分類—（代數）運算、（幾何）性質—聯系’的線索展開學習，那么經過長期熏陶，前述數學教育的根本目標就能得到真正落實.”一方面，將不等式作為數學對象，可以按這個“基本套路”展開研究，“不等式的基本事實和基本性質”作為“子對象”，也可以此為線索展開學習.

對基本事實，它是不證自明的結論，是人們在長期實踐活動中通過大量反復的操作、觀察、抽象、概括得到的.但教學處理卻不宜直接拋出，為便于學生更好地感受、理解和接受它，教師有必要給一定的時間，讓學生從具體的實數大小的比較體驗、驗證它，確信它的正確性，如3＞2?3-2=1＞0；3＞-2?3-（-2）=5＞0；-3＞-4?-3-（-4）=7＞0等.另一方面，要重視自然語言的敘述，不等式一般是符號語言，相對抽象，自然語言表述有助于對不等式和字母代數式等的認識更深刻.

也正是對基本事實從自然語言表述中認識到，對基本性質的證明，不單只是基本事實，還需要依賴“正數”、“負數”、“相反數”等概念和“兩正數之和（積）為正數”、“兩負數之和（積）為負（正）”等實數運算結論作為依據.如證明“對稱性”的前半部分“如果a＞b，那么b＜a”，因為a＞b，由基本事實知a-b＞0，所以a-b的相反數是負數，即b-a＜0；又由基本事實有b＜a.從中看出兩次用到基本事實和一次相反數概念.

基本事實可以用來證明基本性質，但很難從基本事實發現和提出基本性質，這就需要對不等式基本性質的發現和提出尋找合適的“腳手架”，下面是人教A版教科書提供的邏輯圖，它就是數學研究方法“基本套路”的圖式，如圖1.

圖1

用這個“基本套路”，我們就可以從橫向和縱向兩個方向發現和提出問題，具體地說，相等關系和不等關系是數量關系的兩類基本形式，前者是學生相對熟悉的，從而以等式的基本性質為類比對象，對不等式提出一系列開放命題，自然包括不等式基本性質，這也是教材用“探究”形式提出的研究思路；當然，也可以考慮“字母問題數字化”，即先從具體、特殊的數之間的大小不等關系出發，觀察、歸納得出結論.相對來說，與等式基本性質類比要方便經濟的多，結構、體系更好，更利于從整體上獲得感受和啟發.不過，對那些記不住結論、容易犯忽略前提條件的學生，讓他們學會用“特殊化”驗證、判斷也還是很有用的.

在“背景—定義—表示—分類—（代數）運算、（幾何）性質—聯系”這一套路中，主要談談在“聯系”這一環節上的思考.

首先，基本事實和基本性質之間的聯系.前面主要分析的是“用基本事實證明基本性質”.必修5教材說“可以證明”，選修4-5“請同學們嘗試證明”，但都沒有給出證明.那么在實際教與學中，真正用基本事實逐一證明每條基本性質的老師占多少？學生主動證明的有多少？說實話，這是心里很沒底的問法.拿筆者自己來說，多次教學該內容，也只是這次因狠下決心要補上以前欠下的“功課”才逐條給出了證明.最大的感受是：口頭說說和動手做做原來是很不一樣的.要學生去證，教師最好先證；而且實踐出真知.筆者想起張奠宙先生最愛舉的例子“對頂角相等”定理，直觀感知與推理論證在價值和意義上是有差距的，這也許是章建躍老師批評“把‘能用基本性質解決問題’作為目標”的原因之一：功利短視，缺乏思想方法支撐，實際上也是缺乏“理性精神”的價值取向的表現！不等式基本性質中的“對稱性”和“傳遞性”，確實是非常直觀、易于接受認可，它們就像“對頂角定理”一樣，不難，但在基本思想方法熏陶、理性精神啟蒙上的作用卻份量不輕！

其次，6條基本性質之間的聯系應從運算角度統一為一個整體，然后以由簡到繁、由低級到高級（運算）展開為宜.需要指出的是，教材必修5將同向不等式的可加性和可乘性作為性質5、6似乎欠妥，可能主要是出于使用它們方便的原故，而不是從邏輯角度考量；選修4-5將這兩條作為基本性質的推論，而不是作為基本性質本身這一做法筆者以為更恰當，更能體現“基本”二字！

再次，對“聯系”的思考，可把觸角伸向不等式內部系統的一些角落，用基本事實和基本性質發展更多“下線”、證明其他一些重要不等式，如均值不等式、柯西不等式等，具體嘗試放在后面“出發點”再展開.

最后，將“聯系”由不等式拓寬到函數領域，特別是函數的單調性這一特殊視角.我們發現，對基本性質可以有新的解讀：基本性質第（3）（4）兩條與一次函數單調性掛鉤；（5）（6）與冪函數單調性聯系.各條基本性質，條件視為自變量大小比較，結論視為對應函數值大小，具體討論單調性時除了“定義法”外，還可考慮“導數法”，這對（5）（6）限制前提條件“正數范圍”會有更好的理解，對改變條件，調整結論會有更深的認識.這種“新視角看舊問題”對教師來說是需要的，對學有余力的學生也是可以嘗試的.

3.將“基本事實和基本性質”作為問題解決的出發點

教材反復提到“基本事實是研究不等關系的一個出發點”、“基本事實和基本性質是解決不等式問題的基本依據，研究不等式時，經常以它們作為出發點.”教材的編寫確實也努力體現這一基本思想，如在不等式的證明方法介紹中將“比較法”（出發點即是基本事實）作為最基本的方法；對基本不等式，特別是三元均值不等式給出作差“比較法”證明（需要一定的因式分解技巧）.下面筆者從不等式系統、函數與方程的聯系兩個方面，選取三個典型案例，對用不等式基本事實和基本性質作為問題解決“出發點”進行探討.

案例1證明柯西不等式.

筆者曾在文3中指出：“觀察上式，若從分解展開入手，則‘路漫漫不知其修遠兮’”，實則是自己思考努力不夠.教材采用“構造二次函數（a1，a2，…，an不全為零），通過配方，利用判別式推導出結果”，確實彰顯了“數學的和諧之美、奇異之趣”，但分解真的是“路漫漫不知其修遠兮”嗎？作為反思，筆者從不等式基本事實、計數原理出發得到以下三點新的認識.

（1）從基本事實出發：要證（*）式，只需證“左-右≥0”即可.

（2）由計數原理和排列組合知識知，左邊展開共n2項，每項結構是（i，j=1，2，…，n）；右邊展開項的結構有兩種形式，n個（i=1，2，…，n）和（i，j=1，2，…，n）.

（3）由（1）（2）知，左右兩邊作差消去相同的n個a2ib2i（i=1，2，…，n）；左邊還剩n2-n=n（n-1）個a2ib2j（i，j=1，2，…，n且i≠j），正好與右邊的n）“配對”，即得到個“完全平方差”，所以左-右=

至此，可以看出筆者以前的“想當然”實在是一種“偷懶”、“淺思”、“無思”的表現，教材“直接展開比較麻煩”的說法也不足取，它往往使得師生“望而卻步”，膽怯者連嘗試的勇氣都沒有了，這與課程目標“形成契而不舍的鉆研精神和科學態度”、“形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神”相去甚遠！筆者本人就是一個很好的反面例子！

案例2函數單調性與不等式.

函數單調性定義就是用不等式語言形式化定義的，譬如對單調遞增，我們先嘗試用文字語言表述：自變量大的函數值也大；再寫出形式化定義：?x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么函數f（x）在區間D上是增函數.用定義證明單調性就是典型的“從不等式的基本事實出發”.

奇偶函數在對稱區間上的單調性的證明需用到不等式基本性質（4）.

對兩個單調函數的和、差、積、商來討論函數的單調性，則更是以不等式基本性質作為出發點的好例子.

問題1：函數y=f（x）、y=g（x）在區間D上單調遞增（或遞減），試討論下列函數的單調性.

（1）y=f（x）+g（x）；（2）y=f（x）-g（x）；（3）y=f（x）·g（x）.

分析：對（1）可以用基本性質的可加性證明；對（3）學生最容易誤認“兩個增函數之積仍是增函數”為真命題，實質上是由于對不等式可乘性前提條件“正數范圍”的認識不足造成的；對（2）則可舉反例否定，從另一側面認識不等式性質.

案例3方程根的討論.

問題2：若方程x2+（2k-1）x+k2=0有兩個大于1的實根，求實數k的取值范圍.

分析：僅從不等式角度討論.設方程兩個實根分別為x1，x2，將題中條件直譯為不等式組典型錯誤是認為①與等價.從不等式基本性質考慮，可以發現①只是②的充分而不必要條件，與①“貨真價實”等價的應是對大家熟悉的從函數（圖像）建立不等式（組）的方法就不再討論了.

三、結束語

數學中不知還有許多重要而基本的東西，也或多或少地“沒納入教學視野”、“鮮去思考”，這實在是讓人“汗顏”、“良心難安”！筆者通過這次“亡羊補牢”的“功課”補還，對加強“四基”教學有了更深切的感受，特別是提高了對“基本思想方法應當是整個數學教學的主線”（史寧中教授語）的認識；“數學思想方法的力量無限，它蘊含于數學知識中，需要用心挖掘，應成為數學教與學的根、手和船”，讓我們成為教學的有心人，大家多努力！

1.章建躍.數學思想方法的力量［J］.中小學數學（高中），2013（10）.

2.章建躍.邏輯的連貫性和思想方法的一致性［J］.中小學數學（高中），2013（6）.

3.方厚良.配方法的三個“經典”［J］.中小學數學（高中），2013（5）.F