橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同
——也談“幾何法”判斷直線與橢圓的位置關(guān)系

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同
——也談“幾何法”判斷直線與橢圓的位置關(guān)系

☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

關(guān)于判斷直線與橢圓位置的研究，大多數(shù)老師是引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法，聯(lián)立方程組，消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用判別式Δ加以研究，由于運(yùn)算量很大，不少學(xué)生做不到底，以至于半途而廢.甚至有老師認(rèn)為，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，“幾何法”行不通，因?yàn)闄E圓沒(méi)有統(tǒng)一的半徑.此說(shuō)法有點(diǎn)欠妥.何苗，張全合兩位老師在《對(duì)直線與有心圓錐曲線位置關(guān)系判斷的探究》（《數(shù)學(xué)教學(xué)》2012年第9期）一文中用“幾何法”為我們做了很好的嘗試.事實(shí)上，橢圓雖然沒(méi)有統(tǒng)一的半徑，但橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值2a，即對(duì)橢圓上任一點(diǎn)，左、右焦半徑之和是統(tǒng)一的.因此，我們不妨變換視角，從焦半徑入手來(lái)探究直線與橢圓的位置關(guān)系.

一、引論

（1）點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓|PF2|＜2a；

（2）點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓|PF2|=2a；

（3）點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓|PF2|＞2a.

證明：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí)，延長(zhǎng)F1P交橢圓于點(diǎn)M，連接MF2，則|PF1|+|PF2|＜|PF1|+|MP|+|MF2|=|MF1|+|MF2| =2a.

圖1

圖2

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上時(shí)，|PF1|+|PF2|=2a.（定義）

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí)，設(shè)PF1交橢圓于點(diǎn)M，則|PF1|+|PF2|=|MF1|+（|PM|+|PF2|）＞|MF1|+|MF2|=2a.

反證可得：當(dāng)|PF1|+|PF2|＜2a時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓

圖3

當(dāng)|PF1|+|PF2|=2a時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓b＞0）上.

當(dāng)|PF1|+|PF2|＞2a時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓b＞0）外.

二、探究

（1）顯然，當(dāng)焦點(diǎn)F1、F2在直線l兩側(cè)或直線l過(guò)焦點(diǎn)F1（或F2）時(shí)，直線l與橢圓相交.

（2）當(dāng)F1、F2在直線l同側(cè)時(shí).

①如圖4，若直線l與橢圓相離，則對(duì)l上任一點(diǎn)P恒有|PF1|+|PF2|＞2a，從而有（|PF1|+|PF2|）min＞2a；反之，若（|PF1|+ |PF2|）min＞2a，則l上所有點(diǎn)均在橢圓外，l與橢圓相離.

圖4

圖5

圖6

至于，如何求|PF1|+|PF2|的最小值，由于F1、F2在l的同側(cè)，如圖7，作F1關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F1′，連接F1′F2，則（|PF1|+ |PF2|）min=|F1′F2|.

圖7

三、結(jié)論

兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2在直線l同側(cè)時(shí)，有：

四、應(yīng)用

例2（重慶高考題）已知以F1（-2，0）、F2（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）.

解：F1（-2，0）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，換個(gè)角度思考問(wèn)題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，通過(guò)轉(zhuǎn)換角度思考，啟迪學(xué)生思維，往往能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，廣開(kāi)思路，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度思考問(wèn)題，提高課堂教學(xué)的有效性.F