導引審題思維培養解題能力
——圓錐曲線綜合題解題思路的生成

☉湖南省永州市第一中學 蔣雄偉

導引審題思維培養解題能力
——圓錐曲線綜合題解題思路的生成

☉湖南省永州市第一中學 蔣雄偉

在數學課上，很多學生存在這樣的情形：在課堂上聽懂教師講的課并不難，仿照例題解幾道題也完全可以，但讓他們要用學過的知識去解決一個新的問題就不是輕而易舉的了.這就是學生常常出現“一聽就懂，一過就忘，一做就錯”的現象.造成這種現象的一個主要原因是老師在講解題目時忽視對學生審題能力的培養，導致學生在審題時不能抓住題目的“題眼”所在.因此教師要講授的應該是審題突破口的尋找，即“為什么這么解？思路是如何想到的？”這種想法和思維過程要暴露在學生面前，讓學生自己體會如何尋找解題思路.

一、準確把握定義，駕輕就熟

圓錐曲線有第一、第二兩種定義，每一種定義都深刻地反映了該種曲線的本質特性.正確理解圓錐曲線的定義，熟練地運用到解題中去，將題目的已知條件轉化為符合某種圓錐曲線定義的條件，將定量分析與定性分析有機結合起來，使問題的解答簡潔明了.

例1已知動圓C經過點F（0，1），且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點，則圓C的面積（）.

A．有最大值為πB．有最小值為π

C．有最大值為4πD．有最小值為4π

思維導引：在平面內到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡為拋物線.題目條件中動圓C經過點F（0，1），且與直線y=-1相切，即圓心到點F的距離與到直線y=-1的距離相等，故圓心的軌跡為拋物線，進而找到解題思路.

解：由拋物線的定義知點C的軌跡方程為x2=4y.

評注：在具體運用圓錐曲線的定義求解問題時，當題中涉及曲線上的點到定點或者定直線的距離時，我們就可以嘗試運用定義進行相應轉化，這也是一種數學思維，通過運用定義做合適的轉化，可以讓題中的各類條件變得明晰，使自己思考問題更加透徹準確.

二、深挖隱含條件，由隱變顯

問題的解答依據已知條件，而所謂的已知條件并不一定是題目直接給出的，也包括在知識的學習中所探究出來的一些結論、性質等，在題目所給的條件中并沒有涉及，但在解題中應將這些性質作為已知條件應用.

思維導引：漸近線是圓錐曲線特有的性質之一，其必定與雙曲線方程有著千絲萬縷的聯系，如雙曲線方程反之，已知漸近線方程亦可得出雙曲線方程.

解：據雙曲線方程與漸近線方程之間的關系，設所求雙曲線方程為，因為雙曲線過點P（4，6），代入雙曲線方程得m=-3，故得雙曲線方程為

評注：通過深究雙曲線方程與漸近線方程之間的關系，直線設出曲線方程，避免了因焦點位置不確定所造成的分類討論，進而將問題簡潔求解.

三、巧用特殊形式，先猜后證

圓錐曲線中的定點、定值問題是高考的熱點，定值的存在與直線的斜率等的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不以參數的變化而變化，而始終是一個確定的值.

例3已知動圓P（圓心為點P）過定點A（1，0），且與直線x=-1相切，記動點P的軌跡為C．

（1）求軌跡C的方程；

（2）設過點P的直線l與曲線C相切，且與直線x=-1相交于點Q．試研究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

思維導引：直線或曲線過定點問題的基本思路是：解決的基本思想從變量中尋求不變，把直線或曲線方程中的變量取特殊常數，即先用變量表示要求的量或點的坐標，再通過推理計算，導出這些量或點的坐標和變量無關.

解：（1）y2=4x.（過程略）

（2）設直線l的方程為y=kx+m，易知當利率不存在時不符合要求.

由題意得k≠0，且Δ=（2km-4）2-4k2m2=0，化簡得km=1.

設直線與曲線C相切于點P（x0，y0），則

若取k=1，m=1，此時P（1，2），Q（-1，0），以PQ為直徑的圓為x2+（y-1）2=2，交x軸于點M1（1，0），M2（-1，0）.

評注：本題在定點存在的探究中，通過特殊圓的選取，將定點顯性化.定值問題的求解策略：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

四、逆向探究分析，化生為熟

解題思路的尋找既可從條件入手，將條件轉化為結論，也可從結論入手，將結論轉化為條件，從而尋找解題思路.

（1）求m的值；

（2）設過點F的直線l與橢圓C相交于M、N兩點，記△PMF和△PNF的面積分別為S1、S2，求證

圖1

Rt△NDP，所以∠MPC=∠NPD，即kMP=-kNP.

解：（1）m=8.（過程略）

（2）若直線l的斜率不存在，則有S1=S2，|PM|=|PN|，符合題意.

若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2）.

評注：通過逆向分析，找出兩直線斜率之間的關系，進而將問題與根與系數的關系建立聯系，將問題順利求解.

綜上，教師在解題教學中應站在學生的角度，展開對問題的分析、探究，從解題思路的生成上多下功夫，使學生明晰解題思路的來龍去脈，既知其然，又知其所以然，進而有效提高學生分析問題的能力與解決問題的能力.F