一道北約自招試題的解法與源流研究

☉福建師范大學附屬中學 沈春林

一道北約自招試題的解法與源流研究

☉福建師范大學附屬中學 沈春林

2014年北約自主招生壓軸題與不等式有關，形式簡約，表面看似接近中學教學實際，然而細細品味會發(fā)現(xiàn)其意蘊深刻，源遠流長，這種“接地氣通天庭”的試題特征在該題中體現(xiàn)得淋漓盡致，較好地引導著一些優(yōu)秀學子鉆研數(shù)學的興趣和熱忱.本文詳細討論2014年北約自主招生的壓軸題的各種解法并研究其源流，為自主招生試題的研究提供一個思路和參考.

一、試題的解法研究

題目（2014年北約自主招生第10題）若xi＞0（i=

本文整理了8種解法，單從五花八門的解答中已經(jīng)可以感受到試題的靈活多變及“來頭不小”.

解法3：（加權(quán)均值不等式）兩個數(shù)的加權(quán)均值不等式xαyβ≤αx+βy，其中x，y≥0，α，β∈［0，1］且α+β=1，多個數(shù)的加權(quán)均值不等式

解法4：（運用holder不等式）設aik≥0（i=1，2，…，m； k=1，2，…，n），xi≥0，αi∈［0，1］且（Holder不等式）.實際應用中通常取

解法7：（數(shù)學歸納法）數(shù)學歸納法的實質(zhì)與逐步調(diào)整法相同，簡述如下：

n=1時顯然命題成立，假定n=k時命題成立，即xi＞ 0命題也成立，故原命題成立.

二、試題的源流研究

1.chrystal不等式

研究解答試題的方法源流是一件有意思的事情，試題的直接來源是著名的chrystal不等式，即：設ak＞0，則等式幾乎與剛剛討論的不等式完全一樣了，chrystal不等式的證明也就幾乎可以將上述方法不作修改地移用過來.chrystal不等式可以證明某些復雜不等式，諸如國家隊選拔試題：已知5n個實數(shù)ri，si，ti，ui，vi（1≤i≤n）都大于

2.chrystal不等式的變用與加強1，其證明只需要兩邊取對數(shù)等價轉(zhuǎn)化，再對下凸函數(shù)f（x）運用Jensen不等式即可.運用該不等式也可以證明一些復雜不等式，諸如：在△ABC中，證明：27∏cosA≤若有一個角為鈍角或直角，則不等式顯然成立，當△ABC為銳角三角形時，27∏cosA≤

3.chrystal不等式與其他不等式的辯證關系

從上面的證明過程可以看到，證明chrystal不等式可以用Jensen不等式、逐步調(diào)整法、數(shù)學歸納法等本源性的方法，也可用均值不等式、加權(quán)均值不等式、holder不等式等重要不等式，之所以稱Jensen不等式、逐步調(diào)整法、數(shù)學歸納法為本源性方法，主要是基于人們認識和學習不等式通常所遵循的認知規(guī)律和先后順序，因為均值不等式用這三種方法均可推出，而加權(quán)均值不等式、holder不等式又可由均值不等式直接推出，也可由Jensen不等式、逐步調(diào)整法、數(shù)學歸納法等本源性的方法推出，chrystal不等式同樣如此，也就是說chrystal不等式和加權(quán)均值不等式、holder不等式擁有同一個產(chǎn)生它們的“母親”均值不等式，共同擁有產(chǎn)生它們的“奶奶級”的方法Jensen不等式、逐步調(diào)整法、數(shù)學歸納法等本源性的方法，至于用加權(quán)均值不等式、holder不等式對chrystal不等式的證明就仿佛來自“兄弟姐妹”的幫助，而在chrystal不等式的變用和加強則好似“孫子輩”自身的開枝散葉．

由此可見一個不等式證明問題，如果能夠用重要不等式去給予證明，那么此不等式與重要不等式的證明是存在某種方法上的互通性和一定程度的本質(zhì)一致性的，如果能夠從重要不等式證明的思維策略和方法上吸取營養(yǎng)，定會增強我們對形形色色不等式的直觀感覺能力和對其本質(zhì)的透視能力.大而言之，這種既貼近中學教學實際而又包含眾多數(shù)學思想方法精髓的本質(zhì)性問題正是自招試題命題者的大手筆，它有效檢驗了數(shù)學學習者的思維積淀和知識積淀，從這道試題的解答中我們可以感受到認真審視我們的學習過程，注意對數(shù)學問題本質(zhì)的理解，適當拓展，用思想和方法去統(tǒng)領數(shù)學知識，使其成為“源頭活水”，讓知識和思維同時積淀，或許這才是應對自招試題的良策.

1.厲倩．Holder不等式的再推廣及應用［J］.數(shù)學通訊，2006（3）.

2.石煥南，石敏琪．對稱平均值基本定理應用數(shù)例［J］.數(shù)學通報，1996（10）.F