唯有漫江碧透，方可魚翔淺底
——一次說題活動給予的思考

☉浙江省湖州市第二中學 劉薇 沈恒

唯有漫江碧透，方可魚翔淺底
——一次說題活動給予的思考

☉浙江省湖州市第二中學 劉薇 沈恒

近期筆者所在地區舉行了一次大型的說題活動，教師在既定時間內解決給出的數學問題，并進行說題，通過交流感受較多．何為說題呢？通俗地說，就是要求教師將審題、分析、解答和反思的思維過程通過語言，按照一定的順序和規律表述出來，展示教師面對問題暴露出的思維過程和解決途徑，即說數學思維．這是近年在浙江省較為流行的一種教研活動，它充分展示了教師臨場解決問題的基本功，口述解決問題的思維過程、思維策略、思想方法等，其作用旨在推動教師的課堂解題教學以及教師的專業化成長．筆者就本次其中一道解析幾何試題，來談談自己的認識和感受，與大家交流，不當之處懇請讀者指正．

一、題源

題目：設拋物線C：x2=y的焦點為F，動點M在直線l：x+y+2=0上運動，過點M作拋物線C：x2=y的兩條切線MA、MB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．

（1）求△ABM的重心G的軌跡方程；

（2）證明：∠MFA=∠MFB．（如圖1）

圖1

說明：本題改編自近年高考江西理科第22題，為了使參賽選手親自動手一試，評委組特意將原題中的直線改成了x+y+2=0，以保證試題的公平性．本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查動點軌跡求解方法中的消參法，有一定的運算要求，其中滲透了數形結合思想和方程思想，并且本題帶有濃厚的高等數學背景——阿基米德三角形．從近年各地高考和競賽試題來看，拋物線的基本幾何性質、直線和拋物線的位置關系、高等數學背景下的初等數學問題解決都是熱點和難點．

二、說題

文獻1、2都關注了教師指導下的學生說題，本次活動是教師面對評委的說題嘗試．眾所周知，數學問題的解決本質上正是要求學習者將問題中的條件簡明扼要地通過一定的轉化，和問題的結論進行聯系，這即是對命題進行一系列轉化的道路．那么說題和問題的解決相同嗎？說題就是利用數學教學語言口述問題解決的探尋思路，以及問題解決過程中采用的解決方案、思想方法、解題策略，甚至對問題進行一定程度的挖掘，諸如變式的推廣、初等數學問題的高等數學背景挖掘、數學人文情懷的滲透等．一般來說，說題的內容往往涉及下列四方面.

1.說題意

解析幾何一直是高考數學的重點和難點，也往往容易編制含有高等數學背景的初等數學試題．解析幾何解答題側重考查運算能力、邏輯推理能力和綜合問題解決能力，常常與向量、數列、函數與方程等知識相結合考查．

從本題的編制來看，本題涉及內容不多、題意表述言簡意賅，以直線和拋物線的位置關系為載體，兩切線相關知識與導數緊密結合，軌跡思想的求解涉及消參法的運用；從思想方法上來看，本題考查數形結合思想和方程思想，其是解析幾何考查的重要思想方法，軌跡問題和定值求證一直是各地高考、省市競賽中出現頻率較高的考查類型，值得關注．

2.說思維

說思維是指說題者簡要探求解題途徑的心理分析過程、問題解決的思維方式展現．筆者認為，要說好一道試題，探尋解題途徑的常用方式、方法，往往宜采用下列幾步：其一，采用庖丁解牛策略，將復雜的試題分割成多個小問題進行解決，化整為零的解決策略將說題者的思路清晰表露無遺；其二，利用轉化思想，把問題中遇到的陌生背景問題轉化為熟悉情境求解；其三，采用直覺思維和靈感思維，從類似問題的解答中遷移和獲得解題思維規律，可以利用模式識別解題．

從本題的解答來看，限于教師在半個小時內的準備，其相對解決方法均為通性、通法，基本均為學生在解決問題過程中所能使用的方法，符合學生構建這些解法的心理機制，是教師說題需要注意的．看看本題，教師要說出學生解決問題的心理機制：

（1）設A、B兩點的坐標為（x1，y1）、（x2，y2），利用導數知識表達切線方程；

（2）M點是兩直線的交點，利用軌跡思想消參，求△ABM的重心G的軌跡方程；

（3）證明角度相同，在解析幾何中能利用的工具不外乎代數中的余弦定理、向量中的數量積工具、幾何中的角平分線的性質等，結合方程中的韋達定理證明．

3.說思路

針對解決問題的分析和學生的心理機制，說題者容易述說解題思路.

對于第一問，從學生解決問題的角度來看，對多數學生而言并不容易，設M點的坐標為（x0，y0），利用導數知識易求得切線lMA：y=2x1x-y1，同理可得lMB：y=2x2x-y2.因為M為兩直線的公共點，可得直線lAB：y0=2x0x-y.聯立y=x2和y0=2x0x-y，根據韋達定理可得x1+x2=2x0，x1x2=-x0-2.利用三角形的重心關系式，得重心的橫坐標消去參數x0，可得重心的軌跡方程：y=

對于第二問，學生的解決視角基本是利用余弦定理證明角相等，這種方式思維簡捷、實際運算難以實現，優秀一些的學生會利用角平分線的性質解決問題，或者是利用向量的夾角公式解決（下文中將對其一般化結論進行證明），這是處理本題比較好的方式．針對第二問的具體解決，限于運算量較大，此處說明給出了思維方向，具體運算不展開贅述．

4.說規律

說題需要指出問題解決的一般性策略，學會舉一反三，這里可以研究問題的一般性結論、變化，一題多解，一題多變，概括出解決同類問題的思維規律，并交流心得體會．就這一點而言，筆者認為（包括筆者自身在內）在短時間內解決問題、挖掘背景、改編問題等還需教師努力提高．

（1）稍難的軌跡試題如何求解？消參法是常用的一種解決軌跡問題的思路，當多變量出現時，消參法往往具備解決問題的一般性，這是軌跡問題解決的方向和規律，其原型來源于人教版典型問題：已知△AOB的一個頂點為拋物線y2=2x的頂點O，A、B兩點都在拋物線上，且∠AOB=90°，求AB的中點的軌跡方程.

（2）將問題的背景演變為橢圓、雙曲線，可以體會“形變質不變”；將M點設置在其他直線上動起來，體會“質變神不變”.

（3）拋開問題的外表，來看本題的高等數學背景：即以阿基米德三角形為背景進行了試題的編制．近年以阿基米德三角形為背景的高考試題編制較為多見，如2008年山東第22題，2007年江蘇第19題，2006年重慶第22題，2005年江西第22題，2006年全國卷2第21題等，能夠通過高觀點下的數學知識解決初等數學問題，應該漸漸成為教師自身專業化提升的一個積累方向．以拋物線x2=2py（p＞0）為例，MA、MB為拋物線的切線，AB為兩切點，N為弦AB的中點（下同），可以發現并解決下列一系列關于阿基米德三角形的規律（性質）.

性質1：如圖2，在△ABM中，F為拋物線的焦點，求證：∠MFA=∠MFB．

說明：性質1恰是本次說題的阿基米德三角形背景，也是證明第二問較好的方式，從本性質可以看到江西命題時恰是從本性質出發進行了編制，具備了問題的一般規律.

性質2：如圖2，在△ABM中，F為拋物線的焦點，求證：|MF|2=|FA|·|FB|．

說明：性質2是阿基米德三角形的又一通性探索．

筆者還通過研究發現了下列簡單的規律.

性質3：如圖3，△ABM的邊AB過拋物線內一定點C，則另一頂點M的軌跡是一條直線．

圖2

圖3

圖4

性質4：如圖4，△ABM中，若N為拋物線的弦AB的中點，則直線MN平行于拋物線的對稱軸．

通過本次活動，筆者發現在緊張的參賽解題、說題之余，沒有選手能發現本題背后的數學本質，因此只能僅僅依賴于問題的解決，無法挖掘更深層次的思考，當然這與時間緊迫有關系，因此包括筆者在內認為只有平時更多的積累才有專業化素養的成長．

三、反思

觀摩整個說題活動，筆者感受到了近年來課程目標對教學觀念的改變，教師在先解題、后說題中都體現了以學生為主，以其思維角度進行問題的述說、分析．比如說題過程以關注學生在軌跡問題上認知的基本思路為出發點，關注學生解決解析幾何問題的常用思想進行述說，關注問題變式的開發、挖掘，關注問題解決中學生能使用的基本數學方法，并在情感態度、價值觀上做出了一些嘗試．這些都是類似筆者這樣的教師需要努力去學習和積累的．筆者后續又有了一些不成熟的思考，本次說題活動在目標性上的處理似乎還不夠完善、不夠成熟，有時套用一些過于籠統、空泛的課程標準來說明，有時在具體性上、適度性上把握不足．實際上，筆者認為說題目標應該分為三個層次，以本題為例.

（1）初級層次目標.將問題以學生的心理機制建立解題思路，針對本題解決的主要方式，如向量方式、角平分線性質的運用方式等，通過引導使學生將問題解決思維建立在最近發展區，使其通過一定的探索解決問題，并能對學生的基礎知識、數學能力做出合理的評估.

（2）中級層次目標.在解決問題后，積極引導學生進行反思，這里的反思可以是結合一題多解的嘗試，可以是數學思想方法的整理，可以是學生對問題解決的一些小結，激勵學生敢于天馬行空地提出創造性解決思維等，為積累更寶貴的問題解決經驗做出一些實踐性的總結.

（3）高級層次目標.對于一個具備研究價值的問題，教師說題后的處理還能有更進一層的挖掘，以本題為例，教師通過問題認識到其背后的阿基米德三角形，并對阿基米德三角形進行一定的探究性學習，利用這些學習和整理，開拓優秀學生的知識面和提高教師自身的專業化素養，同時教師還能根據性質開發一批原創性的問題，培養學生的發散、求異、直覺、創新等思維，讓學生掌握數學思維的規律、特點和方法，在參與思維中發展能力，在知識、規律的探索和歸納中形成創新意識，這樣由點及面的學習和研究是說題之后更能提供給我們的一些啟示．

總之，通過即時解題、說題，本次活動較好地給予了教師展示的平臺，也讓我們認識到：扎實的基本功、合理的表述以及學生解決問題的心路歷程的有效整合．這樣的嘗試是對教師多方面能力的一種提升，也督促教師在教學之余對專業化成長做更多的嘗試和積累.只有做到“八方聯系，渾然一體”，才能“漫江碧透，魚翔淺底”！

1.李萍.說題教學的嘗試［J］.數學通訊，2005（11）.

2.金秀青.說題——讓數學課堂更精彩［J］.中學數學（上），2009（6）.

3.沈恒.說題，談題，品題［J］.中學數學研究，2012（9）.

4.鄒生書.圓錐曲線阿基米德焦點三角形的一個性質［J］.數學通訊，2011（7）.A