基于PCK淺談信息技術在高中數學課堂中的應用*

☉上海市松江一中 李志成

基于PCK淺談信息技術在高中數學課堂中的應用*

☉上海市松江一中 李志成

一、概念綜述

1.PCK介紹

這一概念最早是由斯坦福大學教授Shulman（美國教育研究會主席）提出的，他認為構成教學的知識基礎有7類，其中的“學科教學知識”逐步成為教師知識的重心與核心.學科教學知識是“Pedagogical Content Knowledge”（簡稱為PCK）的翻譯，也有些研究者將其翻譯成“教學內容知識”或者“學科教育知識”.其內涵是指所教的學科內容知識與教育學知識的有機融合，針對具體要教的內容所使用的教學方法和教學策略.學科教學知識包含四個成分：學科知識、一般教學法知識、關于學生的知識和關于學習情境的知識.

2.信息技術

凡是能擴展人的信息功能的技術，都是信息技術.可以說，這就是信息技術的基本定義.它主要是指利用電子計算機和現代通信手段實現獲取信息、傳遞信息、存儲信息、處理信息、顯示信息、分配信息等的相關技術.計算機技術與現代通信技術一起構成了信息技術的核心內容.人們獲取信息的途徑有很多，可以直接從生產、生活、科研活動中收集和獲取信息，也可以從網絡、電視、廣播、報刊雜志等獲取間接的信息.其中計算機網絡上收集和獲取信息是極其重要的一條途徑.

本文研究信息技術在數學課堂中的應用，信息技術與課程整合絕不是簡取地將信息技術與課程進行功能上的疊加，也不僅僅是把信息技術作為技術手段在課程層面的應用，而是如何將信息技術實際地融入課程的有機整體中，使其成為整體不可缺少的部分，或成為一個新的統一體.

二、課堂實錄及設計說明

為了更好地說明信息技術在高中數學課堂中應用的特點及作用，我們選擇“橢圓的標準方程”的第一課時為例.

1.學情了解，教材分析

“橢圓的標準方程”的前一個知識是“圓”，是運用“曲線和方程”理論解決二次曲線問題的又一實例.它是對前面所學的運用坐標法研究曲線的幾何性質的又一次演練，同時它也是研究橢圓幾何性質的基礎；橢圓的標準方程為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎.

在學習本課之前，學生已學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經驗，并對運用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識，在教師的合理引導下學生有獨立探究有關點的軌跡問題的知識基礎和學習能力.但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，思維上會存在障礙.特別是缺乏數形結合能力，不善于簡化平面幾何問題.

在教學上本課以多媒體和演示板作為教學手段，教師應用好自己的專業知識，找好橢圓定義及橢圓方程相關課件，以學生為主體，結合自己的學科知識引導學生思考并自己學習分析.課堂上使用多媒體輔助教學與自制教具相結合的信息技術應用方案，實現多媒體形象、大容量的優勢，既突出了知識的產生過程，又增加了課堂的趣味性.體現學生是一個主動學習、積極探索的個體，盡可能增加學生參與教學活動的思維空間.

2.視頻引入，激發興趣

（1）展示神舟十號相關視頻資料（如圖1），并演示飛船飛行動畫，由此引出橢圓.從課堂上的表現可以看出，學生對上課伊始就看圖片和視頻動畫很感興趣，注意力迅速集中到課堂.

圖1

（2）生活中，你見過哪些形狀是橢圓，你能舉出實例嗎？（繼續用圖片展示，特別展示一些生活中常見的橢圓圖片，如圖2）.學生各種歡樂的回答，迅速帶動了課堂氣氛.

圖2

請學生觀看橢圓相關的圖片和動畫，以及舉出所看到有關橢圓的實例，目的是使學生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形.通過動畫演示也會更加形象生動，能引起學生的興趣.

3.動畫演示，定義歸納

（1）利用課前準備好的圖釘和細繩合作畫圖，請兩名同學到黑板上演示畫圖過程（做法：用圖釘穿過準備好的無彈性細繩兩端的套內，并且把圖釘固定在兩個定點上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，直至畫出一條曲線）.因為找了兩個負責認真的同學，所以課堂上畫出的橢圓比較標準，而且費時較少.

（2）再通過演示幾何畫板動畫，點B是線段AC上一個動點，分別以定點F1、F2為圓心，|AB|、|BC|為半徑作圓，如圖3，觀察兩圓交點M的軌跡.引導學生探求橢圓上點的運動變化的規律，并從直觀上認識橢圓.

此環節的設計，可以鍛煉學生的合作能力，并使學生在動手操作的過程中對于橢圓上點的性質深刻理解.利用課件的動畫操作演示，使橢圓定義更加形象生動，學生更易接受.這樣，讓學生加深對橢圓上點的運動規律的體會，為下一個環節得到“橢圓的定義”做準備的同時，也鍛煉學生從理論到實踐的轉化能力.

圖3

（3）動畫輔助，歸納定義.

師：橢圓上的點具有什么特點？

生：橢圓上的點到兩個定點的距離之和等于常數.

師：那么能不能說，到兩個定點距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓？

生：平面內，到兩個定點距離之和等于常數的點的軌跡，才是橢圓.

師：還有補充嗎？先來觀察一個動畫，如圖4.

圖4

學生通過課件觀察隨著F1、F2距離的改變，軌跡的變化情況.從而發現：

2a＞|F1F2|時，軌跡是橢圓；

2a=|F1F2|時，軌跡是線段|F1F2|；

2a＜|F1F2|時，無軌跡.

師：橢圓應如何定義？

生：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

這一環節，學生通過對動畫的觀看和操作，在發現規律的同時，提高了學習數學的信心.教師利用自己已有的學科教學知識，提前做好動畫，幫助和引導學生更好地理解了橢圓的定義.

4.推導方程，展示成果

本環節主要目的是通過學生獨立建立直角坐標系，推導方程，從中選擇比較簡潔的形式確定為橢圓的標準方程.這是本節課的第二個重點內容，講授時，教師讓學生自主探究、分組討論，教師在這個過程中加以引導.

師：要想得到橢圓的方程，首先要建立適當的直角坐標系，如何建立坐標系呢？

方案1：以F1、F2所在的直線為x軸，F1F2的中點為原點建立直角坐標系.

方案2：以F1、F2所在的直線為y軸，F1F2的中點為原點建立直角坐標系.

教師首先肯定了學生的方案的正確性，然后請學生求出在方案1所建立的坐標系下橢圓的方程（在這里規定線段AC的長度為2a，線段F1F2的長度為2c），匯報結果.按照方案1得到的方程為對這個方程進行進一步化簡.而化簡這個方程是本節課的難點所在，其關鍵是怎樣去掉等式中的根號，通過以下兩個問題來突破難點.

師：化簡含有根號的等式時，我們通常采用什么方法？對于本式是直接平方好呢，還是恰當地整理之后再平方好呢？

生：這個方程直接平方不利于化簡，而整理后再平方比較簡潔.

通過學生自己計算化簡，最后得到橢圓的方程為（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

教師打開投影儀，請幾名學生上臺展示演算過程并講解，全班一起從中選出最優方法.

橢圓標準方程的推導環節，教師已有對平方相關知識的儲備，通過問答和展示學生成果，充分發揮學生的學習主動性，學生嚴謹的學習精神.學生的上臺講解，既能提高學生的主動學習的意識，又能提高他們的語言表達能力，更是學生相互教育和相互學習的一種重要途徑.教師利用自己的教育專業知識和心理學知識，如何調動學生的積極性，讓更多的學生參與到課堂中，也是PCK知識應用的一個表現.

5.例題講解，提高效率

例1下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？

（2）9x2-25y2-225=0；

（3）-3x2-2y2=-1；

注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然.

例2寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.

已知兩個焦點的坐標分別為（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10

變式1：將上題焦點改為（0，-4）、（0，4），結果如何？

變式2：將上題改為兩個焦點距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結果如何？

例3寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.

解析：（法一）因為橢圓的焦點在y軸上，如圖5，

因為c=2，且c2=a2-b2，所以4=a2-b2.①

圖5

聯立①②可求得a2=10，b2=6.

由橢圓的定義知，

又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.

求橢圓的標準方程的步驟：

（1）首先要判斷焦點位置，設出標準方程（先定位）.

（2）根據橢圓定義或待定系數法求a、b（后定量）.

6.練習小結，動畫輔助

（1）已知△ABC的一邊BC長為6，周長為16，求頂點A的軌跡方程

（2）一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心的軌跡方程.

練習環節，學生的學習即可以延伸到課下，動畫的設計可以使學生清晰記憶動點軌跡，增強直觀性，從而使兩圓相切這一思維難題得到了更好的解決.

三、分析總結

教師利用自己已有的學科教學知識，有意識地制作多媒體課件及教具，充分利用多媒體手段，以輕松愉快的動畫演示，化抽象為形象，創設了直觀的課堂教學效果，化解了知識的難點.借助信息技術的應用，希望對學生的思維品質的培養、數學思想的建立、心理品質的優化起到良好的作用.筆者以“橢圓的標準方程”為例，基于PCK的相關知識簡要分析信息技術在高中課堂中的應用.

1.有利于課堂中數學情境的創設

數學情境的設計在高中課堂中有很多體現，比如引入環節，比如某些抽象性概念或者嚴密的過程推理等內容，學生往往難以理解，無法準確把握，導致教學很難達到預期的效果.

如果不借助于教師的學科專業知識，不借助于信息技術，學生往往無法激發出學習數學的興趣，難以形成對數學知識的感性認識.信息技術作為理想的數學教學情境設計工具，可以運用演示動畫進行圖文并茂的情境教學，教師可以利用自己的學科專業知識，運用動態模擬軌跡的形成過程來描述復雜抽象的數學對象關系，使學生更容易地理解數學抽象知識的形成和發展過程，提高對數學知識的感性認識，給學生提供了更多親自參與實踐的機會，從而激發學習興趣.

2.有利于學生對知識的獲取

多媒體提供的圖形、視頻、動畫等多種類型的信息能給予學生多種感官的刺激，根據科學理論，外部刺激是產生學習的前提條件，刺激有利于學生在認知過程中對信息進行加工，有利于加工過程各階段的強化，有利于新知識體系的建構.

信息技術還可應用于數學教學中的實驗模擬和難點突破，從而更容易獲取知識，更有效的學習.例如，高中數學中，函數與幾何部分正好是難點，教師對這兩部分知識的講解，學生由于各種原因無法直觀獲取，抽象的理解使學習大打折扣.如果教師能利用自己掌握的學科知識和信息技術，借助FLASH或幾何畫板等軟件，設計制作課件，即幫助學生克服這一難題，更快更易鞏固掌握知識.

另外，網絡的應用也是學生學習知識的又一大途徑.教師可以利用自己的知識，建立QQ群、博客、空間、微信等交流平臺，在課后繼續同學生探討數學問題，學生之間也可以借助這些工具進行討論，師生還可以在里面共享自己的信息.學生在課內課外都能進行合作學習，不僅有助于提高學生的綜合素質，而且從某種程度上還能促進師生關系的良性發展.

3.有利于課堂效率的提高

高效的課堂教學要求教師備好課，合理安排好各個環節，有大容量的教學內容.而眾所周知，數學教學少不了板書、作圖等常規的教學手段，容量有限.一節課的時間是有限的，如果常規手段占據了太多時間，就沒辦法分出太多時間供學生練習，學習內容與練習量不成正比非常不利于學生的學習.信息技術在課堂中的應用可以把教師從一些重復勞動中解放出來，使其有更多的時間投入到概念講解、解題分析和方法指導上.借助信息技術，教師可以對一些難點問題，把畫面定格，在某一位置進行分析、歸納，運算推理，再通過必要的板書或板演充分地展現給學生，既省時又省力，從而大大提高教學效率.

4.有助于教師教學水平的促進

隨著網絡信息技術的發展和成熟，基于因特網的數學教學特別適合學生進行探究學習，但網絡只是工具，學習方面應用的關鍵在教師，教師需熟練掌握教材及網絡方面的應用.作為教學中的指導者，教師是信息技術應用成功與否的關鍵因素.所以教師必須先完善自己的學科專業知識，掌握了扎實的信息技能和專業知識，就能在教學上不斷進步并促進學生高效地學習.

對教師而言，要改善教學效果，必須提高自身的素養及教學工具.由于信息的社會化程度高，作為高中數學教師，就要讓學生邊學邊用，而自己也需要不斷學習，成為學生的“合格導師”.教師在使用多媒體技術的過程中，需要應用某些教學軟件，而這些軟件的使用就需要教師有較為良好的計算機使用技能.因此，教師在這一過程中，其信息技術的操作技能也得到了進一步的提高.

另外，隨著網絡技術的發展，各種網上教育交流平臺的建立，為各地的教師提供了更多的交流機會.各地優秀教師的工作經驗在網上都可以得到共享，先進的教學思想教學理念及教學方法可以在網上得到共贏.

當然，信息技術在高中課堂的應用雖給數學教育帶來了許多有利的改變，為數學教學提供了更多的選擇，但在實際的課堂教學應用過程中，仍存在不少問題，如有些教師片面追求信息技術，忽視對教學內容的探討，忽視學生的主體能動性的發揮.所以，我們要重視學生的主體性，也要重視教師的學科專業知識，重視這些專業知識在高中數學教學中的應用.F

*上海市松江區立項課題《基于PCK的高三數學教學設計研究》（編號：B1379）.