淺談函數教學中的分類思想

☉江蘇省昆山市第一中學 余莉莉

淺談函數教學中的分類思想

☉江蘇省昆山市第一中學 余莉莉

函數是高中數學的核心和重點，函數板塊中孕育著很多數學思想方法，諸如方程思想、數形結合思想、分類討論思想等.思想方法滲透到函數試題中，使原本并不復雜的函數問題變得復雜起來．我們知道，單一的函數教學除了認知基本初等函數和函數性質之外，其難度并不大，但是隨著知識整合度的提升、字母參數的滲透，解決問題的時候必須依賴更多思想方法的滲透才能解決．數學家熊慶來曾說過：“分類的思想是數學的瑰寶，我在解決很多復雜的數學問題時，總是將其分類為一部分、一部分，然后就能輕松地解決了．”

從今天的高中函數教學來看，分類思想頻繁出現在函數中.分類思想成為考查重點的原因，筆者認為主要是以下幾個因素.（1）帶參函數的研究：帶參函數問題的解決必然會用到分類討論思想，參數的變化會導致函數圖像不斷變化，此時研究函數性質需要依賴變量的不同取值，因此分類思想的運用自然水到渠成；（2）應試的需要：我們知道單一函數或確定的模型研究是無法區分學生解決問題的能力的，要在選拔性考查中區分學生問題解決的能力，必然需要思想方法的滲透，這里分類討論思想是非常重要的區分，一般較難的函數問題，優秀的學生可以分析得極為細致、中等的學生能分析大概情形、能力不足的學生幾乎無法將問題清晰地討論，這就達到了選拔性考試的要求，因此分類思想必不可少；（3）分類能力是思維培養的必經之路：按照國家長期人才培養的戰略方針，我們的教育改革致力于將人才培養的方向和模式做出極大的調整，從原本操作型、熟練型人才向創新型、創造型人才轉變，而后者的培養需要新課程理念的支撐、需要更高思維的培養，這都離不開分類討論思想的貢獻．因此，筆者認為在數學教學中對分類思想的教學有著重大的影響作用．

一、分類思想的建立

學生腦海中的分類思想從小學就已經有了雛形，比如：我們可以看到小學生跑步達標時會按照性別分類、下棋時按照水平高低分類，分類思想的初步已經運用于生活實踐中.但是對于高一學生而言，函數問題中的分類思想建立尚不明確.函數教學中比較明顯的分類思想介入始于函數性質教學，諸如奇偶性、單調性等.在研究各種函數圖形時，我們發現總有一些特殊的函數形態，可以利用一些概念界定將某類具備特殊性質的函數歸為一類.如何在高一函數教學初始就建立合適的分類思想呢？筆者舉一個例子.

案例1：“函數奇偶性”概念教學.

師：同學們，讓我們來看幾幅圖片（投影）.（設計意圖：提供感官上的刺激，提供兩種對稱的生活來源）

圖1：太極八卦

圖3：完美對稱的蝴蝶

圖4：軸對稱函數

師：同學們，在初中我們就認識了兩種對稱，一種叫中心對稱，一種叫軸對稱.上面給出的四幅圖中，你可以對其進行分類嗎？

生：左邊的兩幅圖片屬于中心對稱圖形，右邊的兩幅圖片屬于軸對稱圖形.

師：正確！太極八卦是中國古代的武當的標志，它是典型的中心對稱圖形，第二幅圖是過原點的三次函數的演變過程（以后大家會接觸到三次函數），第三幅圖是自然界中的蝴蝶，多年適應自然生存的結果使其成為一種完美的軸對稱生物，最后一個是商業標記麥當勞，是軸對稱圖形.這些對稱在生活中、學習中無處不在.將它們抽象到數學中，我們可以清晰地分為兩類，那么今天的函數世界中，我們也有兩種特殊的對稱需要研究.

生：一種是軸對稱函數，一種是中心對稱函數.

師：是的.我們將按照關于y軸軸對稱、原點中心對稱將函數分為幾類.只關于y軸軸對稱的函數，我們稱之為偶函數，只關于原點中心對稱的函數我們稱之為奇函數，既關于y軸軸對稱又關于原點中心對稱的函數稱之為既奇又偶函數，兩種對稱性都不具備的稱之為非奇非偶函數.根據這一圖形性質，我們將函數分為了以上四大類.接下來介紹奇偶函數的定義.

說明：奇偶函數是分類思想在函數世界中的一次典型滲透，這種滲透還有單調性概念的介紹，指數函數、對數函數不同類型的區分等.在函數教學的初始階段，這些典型的分類思想滲透是函數研究的基本分類所在.筆者認為，教學時用這些概念解決問題固然重要，但是這些概念中如何產生分類意識、如何理解分類的存在，是函數教學中分類思想建立的基本，值得教學深刻思考.

二、分類切入點找尋

上述談及的是在函數初步中準確地建立分類的想法，培養初步的分類意識.在實際解決函數問題中，如何正確運用分類討論思想呢？為何如此分類？分類的切入點在哪里找尋呢？這是筆者認為實際解決函數問題的關鍵.

1.從概念切入

案例2：解關于x的不等式|2x-1|-|x-2|＜0.

分析：（1）當x＞2時，原不等式轉化為：2x-1-x+2＜0，得x＜-1（舍）.

因此，原不等式的解為-1＜x＜1.

說明：絕對值問題的解決，其基本手段是依據概念分類，即零點分段.

2.從圖形切入

分析：本題原解是采用四大類十六小類的代數分類，標準答案極為煩瑣.筆者認為，分類討論的合理性，正確把握切入點的選擇，對順利解決問題有很大的幫助.將原不等式轉化為函數利用圖形對a進行討論即可.

（1）a=0時，如圖5所示，可得|x|≥|x-1|-1對任意x∈R成立.

圖5

圖6

圖7

圖8

說明：本題的解決手段是利用圖形的變化產生分類，相比原解，這種分類較為容易，從直線、雙曲線、雙曲線焦點的位置確定等入手，解決自然、切入點易發現.

三、分類的更高境界

分類討論是一種很好的思想方法，它的使用對于我們解決含參變量問題產生了非常有效的作用.但分類討論思想的更高境界是如何將問題在分類的基礎上，研究更高層面的理解，避開分類成為掌握分類討論思想研究函數問題之后，更高層面的一種感悟.來看一個案例.

案例4：已知函數f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1（a∈R）.

（1）若函數f（x）在（0，2）上無零點，研究函數y=|g（x）|在（0，2）上的單調性；

（2）設F（x）=f（x）-g（x），若對任意的x∈［0，1］，恒有|F（x）|＜1成立，求實數a的取值范圍.

分析：本題的第一問比較常規.對于第二問，學生在研究|F（x）|=|3x2-2ax+a-1|在區間［0，1］上的最大值，即研究F（x）=3x2-2ax+a-1在區間［0，1］上的最值時，其思維自然考慮到了二次函數的對稱軸對最值的影響，將其分為三種情形進行處理.筆者認為，在學生解決問題的基礎上，應該點撥學生反向思考問題，即|F（x）|=|3x2-2ax+a-1|＜1要恒成立，則|F（0）|＜1且|F（1）|＜1，這樣將a的取值范圍進行了縮小，無須再通過對稱軸進行討論即可解決問題.

解析：（1）由f（x）在（0，2）上無零點，得a≥0或a≤-12.

當a≥0時，y=|g（x）|=2ax+1在（0，2）上單調遞增；當a≤-12時，y=|g（x）|=|2ax+1|在上單調遞減，在上單調遞增.（2）F（x）=3x2-2ax+a-1，x∈［0，1］，F（0）=a-1，F（1）= 2-a.

說明：分類討論思想是解決問題的一種高效思想、優秀思想，函數問題的教學中，分類思想作為一種解決帶參問題的基本武器，必須要熟練滲透和掌握.筆者認為在此基礎上，給予學生更高的解法指導，指導學生如何在不必要分類討論的時候簡化討論、避開討論，對學生合理運用分類討論思想是一種更好的思維鍛煉.如本題中，|F（0）|＜1且|F（1）|＜1將問題所需研究的變量a的取值范圍進行了大幅縮小，使得學生馬上理解問題的分類可以簡化、避免，這是在充分理解合理分類基礎上進行的指導，一題多解的指導有利于培養學生合理分類、避免不必要分類等，提高解決問題的有效性.

總之，分類討論思想在函數教學中是一種重要的思想方法，其對于解決稍難的函數問題、學生解決問題能力的考查、選拔性測試的區分都有著重要的作用.通過本文，筆者認為分類討論在函數中的教學需要一步一步實現，筆者將其分為三個不同的螺旋式上升層次，即第一階段開始培養學生分類討論的意識和思維，這里的培養往往建立在概念課階段，不斷引導學生針對基礎知識清晰地把握分類的存在性和合理性，以及要分類的原因；第二階段在解決實際問題過程中，運用概念手段進行分類、零點分類、函數性質分類等，以實際解決問題的經驗及結合函數基礎知識熟練領會分類思想的具體滲透；第三階段是選擇部分一題多解的函數問題，引導學生如何運用分類解決問題以及避免分類解決問題，達到分類思想熟練運用、合理運用的階段，分是為了不分，這才是分類討論思想的最高境界.限于篇幅和才疏學淺，筆者對函數中的分類思想還需要繼續研究，不足之處請讀者指正.

1.沈言.運用分類思想求數列［J］.中學數學教學參考（上），2012（10）.

2.吳志雄.培養高中生數學應用意識的策略與思考［J］.中學數學研究，2010（5）.

3.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2002.A