新思維、新視角
——淺談函數思想學數列的教學嘗試

☉江蘇省栟茶高級中學 陳德軍

新思維、新視角
——淺談函數思想學數列的教學嘗試

☉江蘇省栟茶高級中學 陳德軍

函數一直是高中數學最重要的知識組成，可以這么說，函數（即變量思想）思想自始至終圍繞著高中數學．學生從高一接觸函數概念起始，到其高考試卷壓軸問題函導數分析、解析幾何最值問題求解等，無一不圍繞變量思想在做文章．傳統教材中，我們還能見到這樣的編排：從函數—數列—三角函數，這樣編排的目的是將變量體系在高一階段就建立起來，學習的心理過程是從一般到特殊的演繹推理．

作為一種特殊的函數，數列自始至終成為了高中數學的難點、熱點所在．通過大量研究表明：數列知識對于區分學生頭腦中邏輯思維能力有著極大的辨別價值，我們可以看到數列有限項的研究是大多數同學可以掌握的，但是對于項數是無限項的數列，學生對問題的邏輯推理能力就可以清晰地辨別學生數學學習能力的高低；其次，數列與不等式的結合一直是高中數學的重點和難點，近年來盡管考查頻率降低、難度有所下降，但是在競賽數學中數列與不等式的結合依舊是一道亮麗的風景．我們不僅要問：數列難嗎？為什么學生掌握數列極其困難呢？很多學生對于數列中基本的通項公式、求和公式、遞推數列的方式、求和的基本方法等都不能一一熟練掌握？談何更深層次地解決更高端的數列問題呢？這些問題困擾著我們的數列教學．因此，本文將從數列最本質的特征出發，以新思維、新視角來看待數列學習中函數思想的滲透，用變量思想來提高學生對于數列知識的認知性．

本教學是筆者在高三復習課時設計的．在本數列教學中，筆者有意識地挖掘利用教材中的函數素材，對學生進行函數思想的熏陶．（本文所選講的問題中，都是從函數的角度展開，實際上每個問題都還有其他的解決方法，請讀者充分利用數列綜合的相關知識，從函數的視角來研究數列）

一、以函數概念為載體，合理消化數列問題

設計意圖：本題引導學生掌握分析an與n、Sn與n之間的相互轉化關系，通過通項公式和求和公式之間的特定關系解決問題，將函數思想滲透進這樣的基本問題中是看透這類數列問題的關鍵．

分析：初看本題是一個數列的問題，考查了數列通項的意義，請學生分析的是第n+1項和第n項的值的差為多少？若我們將an用f（n）進行替換，即問題的本質躍然紙上：即分析函數值之間的差為多少！這樣的數學問題舉不勝舉，學生對其的運算并非難點，而是在解決問題過程中學生是否很自然地聯想到了函數思想，利用函數思想來解決數列問題才是對于這類問題獲得的最大收獲．

二、以函數圖像為工具，直觀簡化數列問題

我們知道，既然數列是一種特殊的函數，那么數列的各種通項公式一定具備了函數表達式的模型，教師可以將數列通項公式制作成一種對比的表格，使學生將兩者之間的關系進行對比認知，這樣有利于學生理解數列作為特殊函數的特點，也可以培養學生利用函數思想來解決數列問題的意識．

表一數列通項公式和函數對應關系

表二數列求和公式和函數對應關系

設計意圖：將函數思想與數列通項進行整合，對于我們理解其表達式，并利用函數圖形解決數列問題有很大的作用．教材P37“由于等差數列的通項公式可以表示為an=kn+b，因此從圖像上看，表示這個數列的各點均在一條直線上．當k≠0時，各點均在一次函數y=ax+b的圖像上；點（n，an）是一次函數y=ax+b的圖像上的一些孤立點．”另一方面，教師通過這樣的方式可以引導學生，數列中還有更多的遞推公式、求和公式、通項公式等，這些公式背后都隱含著一定的函數解析式，若教師能用函數的思想時時刻刻提醒學生，用函數的觀點來嘗試解決數列問題，這對于學生而言是一種眼界的開拓，也是一種知識的融匯，有利于學生培養特殊和一般的數學思想，并將數形結合思想運用的極為成熟，在解決數列問題時將函數圖像知識合理的整合，既高效又精準．筆者建議：對于上述表一、表二，教師在教學中要對學生適當引導，使學生能主動分析和總結，對類似的問題歸納形成一定的知識積累，利用數列中展示的圖像關系來解決問題，常常會起到意想不到的效果．

案例2：若數列｛an｝為等差數列，ap=q，aq=p，求ap+q的值．

思路導引：很多同學拿到這個題目心中立馬就有方法了，以下是學生首選解法．

甲：因為ap=q，aq=p，所以a1+（q-1）d=p，a1+（p-1）d=q，解得a1=p+q-1，d=-1.所以ap+q=0．

說明：這兩名同學就是通過求等差數列的基本量a1、d的方法來解決該題目的．我們可以充分利用等差數列的圖像性質解題．等差數列的通項公式是關于n的一次函數，一次函數的圖像是一條直線，那么等差數列的通項是分布在這個一次函數圖像上的一些離散的點．因為｛an｝是等差數列，那么（n，an）（n∈N*）是共線點，即（p，aq），（q，ap），（p+q，ap+q）三點是共線的，然后就可以利用斜率相等來求．同時也肯定乙同學的解法本質是直線的斜率．

三、以函數性質為手段，有效分化數列問題

案例3：已知數列｛an｝是等差數列，數列｛bn｝是等比數列，其公比q≠1，且bi＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，試比較a6，b6的大小．

設計意圖：函數最基本的分析方式是利用三要素、三大性質，以函數性質為手段，將數列的分析有效地分解到函數性質中去，利用單調性、周期性等性質有效降低了問題解決的復雜性．通過函數性質結合圖像的分析，我們迅速可以找到數列問題的突破口，來分析問題．

思路導引：等比數列bi＞0（i=1，2，3，…）分q＞1或0＜q＜1討論，在指數型函數上有A（1，b1）、B（11，b11）兩點，由等差數列圖像是直線上的孤立點知，連接AB后，取n=6，即可判別a6，b6的大小，如圖1、圖2．

圖1

圖2

四、以構造函數為途徑，巧妙轉化數列問題

案例4：記遞增數列｛an｝，若an=n2+λn對任意正整數n恒成立，求λ．

設計意圖：新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習方法．而學會構建函數，一方面體現了學生在學習過程中的體驗、思考與參與，另一方面也培養了學生的思維品質和創新意識．構造函數解決數學問題是函數思想中的中心所在，其實質是把所求問題轉化為以函數為背景的問題，再利用函數的有關概念、圖像、性質來幫助解決，這樣有利于培養學生的數學思想方法與解題能力．

評注：構造輔助函數是解決函數問題常用的手段，當我們碰到一個比較棘手的數列問題時，我們也可以通過輔助函數牽線搭橋，從而使得問題“柳暗花明”．

總之，在數列的教學中，我們應重視函數思想的滲透，應該把函數的概念、圖像、性質有機地融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高．另外，對上述問題還有許多其他的解法，應注意引導與發散．在學習數學的過程中，學生通過數列和函數的綜合學習和運用，能加深對函數的理解和對數列基本性質的掌握，進而形成知識的理解和靈活運用，實現擴展思維的目的．借助解析式、表格、圖像，用函數的方法研究數列，幫助學生深化對數列概念的理解．

1.國麗娟.從函數視角解決數列問題［J］.數學學習與研究，2012（9）.

2.潘佩.話說高考試題中的函數思想的應用［J］.數學教學研究，2011（1）.F